小波变换在信号降噪中的应用研究
摘要：
由于小波变换具有良好的时-频特性，从而为其在信号降噪中的应用提供了广阔的前 景。本文通过傅立叶变换和小波变换在信号降噪中的对比研究可以看出，小波变换在信号降 噪应用方面具有得天独厚的优越性。本文同时对小波降噪过程、小波域阈值选取原则和小波 基选取原则进行了讨论，得出了一些有价值的规律和原则。
关键词：小波变换，傅立叶变换，信号降噪，小波基 中图法分类号：TP273+.5 文献标识码：A
The application of decreasing noise by wavelet transform
Abstract: Because of its better time - frequency characteristic , wavelet transform can be used to decrease the noise in the signal effectively. Compared to the Fourier Transform , wavelet transform is superior ,which enables it to reveal its great advantages in decreasing noise. The article also discuss the procedure of decreasing noise by wavelet transform, the principal of choosing threshold value of wavelet and the principal of choosing wavelet base, In the end the article summarize some valuable principle.
Key words: Wavelet transform, Fourier transform, Noise reduction, Wavelet base
1. 引言 在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域中展开的，不包括任何时域的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率信息对其是十分重要的。但其丢弃的时域信息可 能对某些应用同样的非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域 和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换、小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅 立叶分析的基础上引入时域的最初尝试，它只能在一个分辨域上进行，所以对很多应用来说 不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具 有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力。由于小波变换的良好 性质，使得小波变换广泛地应用在信号处理和故障诊断等领域。小波变换不仅在形式上是多 样的，而且，它的核的取法也不是唯一的。这种多样性，增加了人们处理问题的灵活性，使 之在信号降噪方面具有傅立叶变换所不可比拟的优点。目前研究小波降噪方面的文章比较 多，但通过对比傅立叶变换降噪和小波降噪，并通过有力的数据来证明小波降噪优越性方面 的文章目前还比较少。
2. 小波降噪 从三个方面对小波降噪进行讨论:
①小波降噪过程。②小波域阈值选取原则。③小波基的选取原则。
2.1 小波降噪过程 一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下的形式:
S(i) = f(i) +ke (i) i = 0 , …n-1
其中，f (i)为真实信号，e (i)为噪声信号，s (i) 为含噪声的信号。
对信号s(i) 去噪的目的就是要抑制信号中的噪声部分，从s(i)中恢复出真实信号 f (i)。在实际的工程中，有用的信号常常表现为低频信号或一些比较平稳的信号，而噪声信 号则表现为高频信号。所以去噪过程可按如下方法进行：首先对信号进行小波分解，则噪声 部分通常包含在高频部分，进而可以以门限阈值对小波系数进行处理，然后对信号进行重构， 即可达到去噪的目的。
一般说来，一维信号的去噪过程可以分为三个步骤进行：
(1) 小波分解。选择一个合适的小波并确定分解的层次N ，对信号进行N层小波分解;
(2) 高频系数的阈值量化。对第一到第N 层的每一层高频系数，选择一个阈值进行阈值量化 处理;
(3) 小波重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过量化处理后的第—层到第N 层的高 频系数，进行一维信号的小波重构。
2.2 小波域阈值选取原则
(1)硬阈值。硬阈值是指绝对值大于或等于阈值T的小波系数予以保留，而其它小波系数 则作为噪声置为零，可用如下形式表示:
y若 y ≥ T
x =0
否则
利用硬阈值降噪时，由于信号在阈值处是不连续的，即利用x重构所得信号可能会产生 一些震荡，因此不具有同理想信号相同的光滑性。特别是当噪声级较高时，容易使重构的信 号产生Gibbs现象。
(2)软阈值。软阈值是指对绝对值大于或等于阈值T的小波系数不是简单地予以保留，而 是将其收缩置零，可用如下形式表示:
sgn ( y) ( y - T)若 y ≥ T
x =0
否则
式中，sgn (.)表示符号函数。由软阈值估计出来的x虽然整体连续性好， 但是由于幅值超过 阈值的小波系数与估计的小波系数总存在偏差，因此直接影响重构信号与真实信号的逼近程 度。
2.3 小波基的选取原则 信号在去噪前，需先对信号进行小波变换，但小波基的选择对去噪性能有重要的影响：
首先，信号经小波变换后得到的小波系数越稀疏，越有利于去噪，即经小波变换后会产生尽 可能多接近零的小波系数;其次，用不同小波基进行小波变换得到的重构信号，其降噪效果 不同。
2.3.1 分析小波的选取原则 一般说来，为了使信号经小波变换后具有稀疏的小波系数，选择分析小波时，需要考虑小波的消失矩和支撑的尺寸。小波的消失矩定义为：
ψ ∫ (t)t m dt = 0 m = 0，1，...，M − 1
上式称小波ψ( t)具有M 阶消失矩，小波的消失矩特性可使信号在进行展开时消去高阶 平滑部分，也就是可使信号的平滑部分的小波系数非常小，而小波变换将仅仅反映信号的高 阶变化部分。小波的支撑尺寸越短，越有利于信号边缘等奇异点的定位，这样就可使较大的 小波系数落在小波的支撑尺寸内。但信号的多项式的最高次幂应小于小波的消失矩，否则， 信号的奇异性就不能由小波变换完全体现，也不能使信号的系数全为零，因此小波的消失矩 越高，紧支撑的尺寸越小，越有利于去噪。
2.3.2 重构小波的选取原则
选择重构小波时，一般应考虑其正则性和对称性。即正则性是小波光滑性的反映，正则 性越高，小波的光滑性越强，频域的局部性越好，这样就有利于消除由经阈值处理后得到的 小波系数所引入的误差。
3. 傅立叶降噪过程 使用傅立叶变换进行降噪的具体流程为：(1)对原信号进行快速傅立叶变换求出其频谱。
(2)根据信号频谱，对不需要和噪声频谱成分进行抑制。(3)对变换后的频谱做傅立叶逆 变换，得到降噪后的信号。
4.
仿真与举例
对同一噪声信号，同时进行傅立叶变换降噪和小波变换降噪，通过观察仿真结果，总结 出这两种变换在信号降噪应用中的特点。
4.1 傅立叶变换降噪和小波变换降噪
原始信号采用 matlab 仿真软件中自带的 noisdopp 信号。将该信号经过快速傅立叶变换 得到其频谱图(如图(1)所示)。由其频谱图可见，信号主要集中在频率小于 50HZ 的范围 内，那么通过滤波器将频率大于 50HZ 的信号滤除，再将得到的频谱进行傅立叶逆变换，得 到降噪后的信号，从而达到了降低信号噪声的作用。
图 1 原始信号的频谱图
在 matlab 仿真程序中，采用’sym4’小波函数对原始信号进行 4 层分解，通过软阀值方 式对信号进行降噪。仿真结果如图 2 所示。
图 2 傅里叶分析和小波分析降噪比较图
4.2 仿真结果分析 判断信号降噪效果的准则有两条：(1) 光滑性。在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性;(2)相似性。降噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的方差的最小。
表1 降噪后的信号与原信号方差
在表1中列出了经过傅立叶变换降噪和小波变换降噪后得到的信号与原信号的方差。从 表1可见小波变换降噪后得到的信号与原信号方差比较小。根据信号降噪的准则，说明使用 小波降噪得到的信号与原信号具有更好的相似性，而且经小波变换降噪后得到的信号，保留 了原信号更多的能量。从傅里叶分析和小波分析降噪比较图(图2)中可以看出经过小波变 换降噪后得到的信号具有更好的光滑性。基于小波变换的信号降噪方法与传统的傅立叶变换 降噪方法相比，前者能够更有效地去除信号中的噪声。
5.结束语 本文介绍了使用小波降噪和傅立叶降噪过程，以及在小波降噪过程中阀值选取原则和小波基选取原则。通过仿真和具体的数字得出了基于小波变换的信号降噪方法比传统的傅立叶
变换降噪方法更好。
本文作者创新点：对傅立叶降噪和小波变换降噪进行对比，通过仿真和具体的数字得出小波 变换降噪优于傅立叶变换降噪。
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