倒频谱分析理论及案例
声明:这篇文章并不是我原创的，我只是稍加整理。现在的振动分析好多资料特别的乱，我从现在开始把我收集到的资料及案例进行整理。同步整理到我的微信公众号上，微信公众号：风电故障诊断及振动分析1.倒频谱的数学描述
倒频谱函数CF(q)(power cepstrum)其数学表达式为：
CF(q)又叫功率倒频谱，或叫对数功率谱的功率谱。工程上常用的是上式的开方形式，即：
C0(q)称为幅值倒频谱，有时简称倒频谱。
2.倒频谱变量q的物理意义
为了使其定义更加明确，还可以定义：
即倒频谱定义为信号的双边功率谱对数加权，再取其傅里叶逆变换，联系一下信号的自相关函数：
可以看出，这种定义方法与自相关函数很相近，变量q与τ在量纲上完全相同。
为了反映出相位信息，分离后能恢复原信号，又提出一种复倒频谱的运算方法。
若信号x(t)的傅里叶变换为X(f)：
x(t)的倒频谱记为：
显而易见，它保留了相位的信息。
倒频谱与相关函数不同的只差对数加权，目的是使再变换以后的信号能量集中，扩大动态分析的频谱范围和提高再变换的精度。还可以解卷积(褶积)成分，易于对原信号的分离和识别。
3. 倒频谱的应用
图2.26对数功率谱关系图。在机械状态监测和故障诊断中，所测得的信号，往往是由故障源经系统路径的传输而得到的响应，也就是说它不是原故障点的信号，如欲得到该源信号，必须删除传递通道的影响。如在噪声测量时，所测得之信号，不仅有源信号而且又有不同方向反射回来的回声信号的混入，要提取源信号，也必须删除回声的干扰信号。若系统的输入为x(t)，输出为y(t)，脉冲响应函数是h(t)，两者的时域关系为： y(t)=x(t)*h(t)
频域为： Y(f)=X(f)*H(f)或Sy(f)=Sx(f)*|H(f)|2
对上式两边取对数，则有：
（2.72）
式(2.72)关系如图(2.26)所示，源信号为具有明显周期特征的信号，经过系统特性logGk(f)的影响修正，合成而得输出信号logGy(f)。
对于(2.72)式进一步作傅里叶变换，即可得幅值倒频谱：
即：
以上推导可知，信号在时域可以利用x(t)与h(t)的卷积求输出；在频域则变成X(f)与H(f)的乘积关系；而在倒频域则变成Cx(q)和Ch(q)相加的关系，使系统特特性Ch(q)与信号特性Cx(q)明显区别开来，这对清除传递通道的影响很有用处，而用功率谱处理就很难实现。
图(2.26b)即为相应的倒频谱图。从图上清楚地表明有两个组成部分：一部分是高倒频率q2，反映源信号特征；另一部分是低倒频率q1，反映系统的特性。两部分在倒频谱图上占有不同的倒频率范围，根据需要可以将信号与系统的影响分开，可以删除以保留源信号。
3.用倒频谱诊断齿轮故障
对于高速大型旋转机械，其旋转状况是复杂的，尤其当设备出现不对中，轴承或齿轮的缺陷、油膜涡动、磨擦、陷流及质量不对称等现象时，则振动更为复杂，用一般频谱分析方法已经难于辩识(识别反映缺陷的频率分量)，而用倒频谱，则会增强识别能力。
如一对工作中的齿轮，在实测得到的振动或噪声信号中，包含着一定数量的周期分量。如果齿轮产生缺陷，则其振动或噪声信号还将大量增加谐波分量及所谓的边带频率成分。
什么叫边带频率，它又是如何产生的？
设在旋转机械中有两个频率w1 与w2 存在，在这二频率的激励下，机械振动的响应呈现出周期性脉冲的拍，也就是呈现其振幅以差频( (w2 -w1)设w2>w1 )进行幅度调制的信号，从而形成拍的波形，这种调幅信号是自然产生的。例如调幅波起源于齿轮啮合频率(齿数×轴转数)w0的正弦载波，其幅值由于齿轮之偏心影响成为随时间而变化的某一函数Sm(t) ，于是:
假设齿轮轴转动频率为wm ，则可写成:
（2.76）
其图形如图(2.27a)所示，看起来象一周期函数，但实际上它并非是一个周期函数，除非w0 与wm成整倍数关系，这在实际应用中，这种情况并不多见。根据三角半角关系， (2.76)式可写成：
从(2.77)式不难看出，它是由w0，(w0 +wm)与(w0-wm )三个不同的正弦波之和，具有如图2.27b)之频谱图。这里(w0 -wm )与(w0 +wm )之差频与和频通称为边带频率。
假如上例中对于一个具有四个轮幅的100个齿的齿轮，其轴准转数为50转/秒，而其啮合频率5000Hz。其幅值(啮合力的大小) 则由每转四次的周期为200HZ所调制(因为有四个轮幅的影响)。所以在测得的振动分量中，不仅有明显的轴转数50HZ及啮合频率(5000HZ) 外，还有4800HZ及5200HZ的边带频率。
实际上，如果齿轮缺陷严重或多种故障存在，以致许多机械中经常出现的不对准、松动、及非线性刚度等原因，或者出现拍波截断等原因时，则边带频率将大量增加。
在一个频谱图上出现过多的频差，难以识别，而倒频谱图则有利于识别，如图2.28所示。图(a)是一个减速箱的频谱图，图(b)是它的倒频谱图。从倒谱图上清楚地看出，有两个主要频率分量:117.6Hz(85ms)及48.8Hz(20.5ms)。
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