weixin 发表于 2017-1-21 01:32

姬扬:力学教学笔记之量纲分析

一法度衡石丈尺,车同轨,书同文字。

物理量与数学量最大的不同在于,物理量不仅仅是数字,它还有单位。描述物理量的单位就是某个基准,而描述物理量的数字就是该物理量与这个基准的比值,比如说,3米、5千克和9秒。即使角度这样的“无量纲”量,也有单位,碰巧约掉了而已:单位长度的圆弧所对应的圆心角就是1弧度,其单位就是“米/米”,所以就约掉了。

对物理这门课程不太熟悉的人,往往忽视了“物理量都有单位”的重要性,套公式的时候就会出现“驴唇不对马嘴”的情况。检验公式两端的单位是否相符,是发现错误的重要步骤。单位的换算就更不用说了,很多惊人的结论都是因为用错了换算系数。现在的大学普通物理教学都采用国际单位制(SI),力学中就是用千克、米、秒作为基本物理单位,以前的克、厘米、秒已经用得不多了,更别说相关的导出单位了——比如说,你再也不用记住1牛顿等于10⁵达因这样的力学换算关系了。
(1N=1Kg⋅m/s2=10⁵dyn)
“物理量都有单位”,不仅可以用来检验公式的对错,还可以用来分析物理问题,这就是所谓的量纲法(或者量纲分析)。找出物理问题所依赖的主要参量,把它们组合起来表示你感兴趣的物理量,往往有助于理解和分析问题。

这么说有些太抽象,还是举几个例子吧。

量纲法可以猜测三角形的面积。三角形ABC的边长为a、b、c,内角为α、β、γ。因为面积的单位为m2,而长度的单位为m,那么就可以猜测三角形的面积为S=a⋅b⋅f(γ)(边角边)或者S=a2⋅f(α,β)(角边角)。碰到了海伦公式你也会知道,至少从量纲上来看,这个公式没什么问题。海伦公式如下:



勾股定理太重要了,可是很多人都不会证明——某年高考就出了这样的一道证明题,据说难倒了95%以上的考生。如果说勾股定理有一百种证明方法,那么量纲法就是第一百零一种。从直角三角形ABC的直角顶点向斜边做垂线,这样就得到了三个直角三角形,它们的斜边边长分别是ABC的三个边长为a、b、c,两个小三角形的面积正好等于大三角形的面积,所以,根据上面的角边角公式,就可以得到:

其中,α+β=π/2,约去公因数,就得到了勾股定理a2+b2=c2。

这些都是数学问题,再说几个力学问题吧。浮力F是个力,单位为N,涉及到重力加速度g、液体的密度ρ和物体的体积V,这三个因素组成力的单位,只能是(ρ⋅V)⋅g,碰巧就是浮力的公式F=ρgV。同样的方法可以得到流体压强的公式P=ρgh。高空落物的速度v(单位为“米/秒”),涉及到的因素有重力加速度g(单位为“米/秒平方”)和高度h(单位为“米”),gh组合起来的单位正好是“米平方/秒平方”,所以,可以猜测

当然,确定系数a等于根号2这件事,量纲法是无能为力了。

这些例子都太简单了,还是举个单摆的例子吧。单摆的周期T(单位为“秒”),依赖于重力加速度g(单位为“米/秒平方”)和单摆的长度L(单位为“米”),也许还依赖于摆锤的质量m(单位为“千克”)、最大摆动角度θ(单位为“1”,也就是无量纲)和单摆的总机械能E(单位为“焦耳”)。L/g组合起来的单位是“秒平方”,所以,可以猜测:

中学物理告诉我们,a=2π正好对应着小角度摆动的单摆周期。对于角度θ比较大的时候,我们可以猜测a=2π(1+bθ2+cθ⁴+⋯),没有奇数幂的原因在于单摆无所谓左右。另一种考虑方式是猜测a依赖于能量,那么E/mgl是我们需要的无量纲量。

显然,这不过是前面那个式子的变种而已。

利用量纲法,还可以求解细杆的转动惯量、水波的性质、圆棒弯曲时的应力分布,乃至利用开普勒第三定律推断万有引力的性质。这些还都是小儿科,展示量纲法威力有个最著名的例子:泰勒(G. I. Taylor)推断了第一颗原子弹的爆炸威力。

原子弹爆炸时,瞬间释放了大量的能量E,从而加热了周围的气体,使之膨胀、形成了冲击波(也就是巨大火球的边界)。涉及到的参数有火球半径r、时间t(爆炸时刻为时间零点)、空气的密度ρ,还有气体的定压比热和定容比热(实际上只依赖于这两者的比值γ)。做些排列组合,可以发现

这里不是等式,只是为了演示量纲的传递,也就是说:

美国军方于1947年公布了原子弹爆炸后火球随时间扩散的一系列照片,泰勒就利用这个公式,立刻推算出了原子弹的爆炸当量——这是完全没有公布的核心军事机密!

上面这些例子不过是量纲分析的皮毛,只能让你感受一下它的能力。不仅是力学,物理学的各个学科分支都会用到量纲分析,在流体力学中尤为突出,马赫数、雷诺数、普朗特数,都是描述体系性质的重要参数,这里就不详细说明了。

关于量纲法的更加严格的分析和处理(比如说,其理论基础“Π定理”的具体陈述和证明),请参阅赵凯华《定性和半定量物理学》的第二章“量纲分析和标度律”,或者谈庆明《量纲分析》,他们还给出了很多的应用例子。

原文链接:http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1019144.html

来源:科学网姬扬的博客
作者:姬扬
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