weixin 发表于 2017-1-22 16:10

姬扬:力学教学笔记之秋千人散小庭空

人成各,今非昨,病魂常似秋千索

以往谈论的都是稳态运动和加速运动,现在谈谈另一种常见的运动形式——振动,也就是平衡位置附近的往复运动。

先谈谈平衡的种类:稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。铅笔扔在桌面上,铅笔的重力等于桌面的支持力,它就处于平衡状态。如果是圆柱形铅笔,那么它就是随遇平衡,你稍微动动它,它就稍微滚动一下,换个地方停下来、继续保持平衡;如果它是个六棱柱形的铅笔,通常是稳定平衡你轻轻推它一下,它就略微抬高一些身形,等你放了手,它就跌回来,左右晃荡一阵、然后停留在原处;如果你心灵手巧,尖头朝下地把铅笔放在桌面上,原则上它也是可以呆着不动的,但是任何风吹草动都会让它跌倒,这就是不稳定平衡。

用数学的语言来说,这三种平衡依赖于物体所处位置附近的势能曲线U(x):既然能够达到平衡,那么该处的一阶导数必然为零,它是势能的极值点;如果二阶导数大于零,它就是势能的极小值,通俗点说,那个地方就是个坑,难怪你会呆得很舒坦,"大国者下流"嘛;如果二阶导数小于零,它就是势能的极大值,那个地方就是个小山头,一不小心就会滚下来,"太高人皆妒"嘛。只要我们离家不太远,更高阶的项通常就不用考虑了。


看看物体在平衡位置附近的运动吧。这肯定离不开牛顿第二运动定律,如果不考虑摩擦力的话,力就只是势能曲线的导数

两侧乘以速度,

这就是机械能守恒定律。从这里可以看出,如果我站在高高的山巅,任何微小的偏离都会减小势能,从而增大速度,也就是说,往山下滚得越来越快;如果我停留在谷底,任何微小的偏离只会增大势能,从而减小我的速度,终究会停下来、返回去的。

对于稳定平衡位置附近的振动,显然其运动轨迹x(t)可以由下式确定:

振动周期T是:

并且有x(t)=x(t+T)也就是说,这是个周期性函数。任何周期性函数都可以表示为三角函数的级数和(傅里叶定理),包括基频f及其所有的n倍频——这些知识都会在高等数学里学到,这里就不多说了。至于李萨如图形之类,不过是XY绘图仪和电子枪荧屏时代的遗迹,如同三角函数的加减乘除一样,都是不难理解的——自己找张纸画一画,就明白了。

原则上来说,一维振动问题就这样解决了。但是,为了加深印象,我们考虑更简单的情况,即,势能曲线只有二次方项的贡献。

上式右侧的−kx就是我们通常所说的回复力,因为它永远指向平衡位置。这个微分方程很容易求解:

因为任何势能极小值的附近区间都可以用二次曲线来描述,所以,上述公式具有普遍性,可以处理所有小振幅的振动问题。我们只需要找到物体的平衡位置,然后在那附近做展开就行了。无论是弹簧振子、单摆复摆,还是振动的音叉、起伏的冰山,统统都是这样处理。

世上的振子虽多,但常常是寂寞无助的,小园香径独徘徊。偶尔走到大街上,看到的都是行色匆匆的陌生人,没有人知道、更没有人关心你内心深处那冰封已久的回忆。也许很偶然的,"于千万人之中遇见你所遇见的人,于千万年之中,时间的无涯的荒野里,没有早一步,也没有晚一步,刚巧赶上了"两个振子发生了相互作用。

其中,α(x1−x2)表示了二者的耦合强度。这样的联立微分方程,看起来很美(或者很难,取决于你的视角),其实解起来也都是套路,经过适当的变量代换,好不容易联系上的两个振子,就又变成了大街上的陌生人。"那也没有别的话可说,惟有轻轻地问一声:‘噢,你也在这里吗?’"更多的耦合振子也是一样的,不过就是行列式的本征值问题而已,说什么有缘无缘,说什么纠缠想念,最后都化为"简正模式",赤条条来去无牵挂。

振子的生活虽然简单,终究不能"遗世而独立",外界的阻力和推动都会影响他的行为。

"木秀于林,风必摧之",最简单的阻碍行为正比于其速度。

利用变量代换:

这种微分方程就变为简单的二元一次方程:

根据根号里γ2−4ω2数值的正负或零,可以区分所谓的弱阻尼、过阻尼和临界阻尼。其实,这种方法也可以用来分辨稳定平衡、不稳定平衡和临界平衡,只要注意到这一点就可了:与振荡的正弦、余弦函数有关;而与增长、衰减的指数函数有关。

"好风凭借力,助我上青云。"为了达到新的高度,就要有贵人相助,最常见的形式是周期性的援助力

吃人嘴短,振子自己的个性ω0当然也就顾不上了,只能听从金主的指挥(所谓受迫振动),但是,如果幸运的话,外界的驱策与自己的本性相去不是太远ω~ω0,就有可能相得益彰,出现所谓的共振现象。然而,共振也是把双刃剑,好的时候可以群策群力,坏的时候可以桥倒屋塌,甚而出现完全不可预知的混沌现象。载舟覆舟,唯君图之。

麦克风为什么会发出啸叫?这是自激的结果。秋千为什么越荡越高?这是参数共振的影响。这就像一个人的命运啊,当然要靠自我奋斗,但是也要考虑到历史的行程。荆轲志存高远、心小天下,放言"往而不返者,竖子也",结局却是"风萧萧兮易水寒,壮士一去兮不复还";周公瑾"大丈夫处世,遇知己之主,外托君臣之义,内结骨肉之恩",终于"羽扇纶巾,谈笑间,樯橹灰飞烟灭。"其人或存或亡,其业或成或败,然而千载之下,无不让人追思怀想,兼有才人不遇之叹,

把吴钩看了,栏杆拍遍,无人会,登临意。

原文链接:http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1021067.html。

本文来自科学网姬扬的博客
作者:姬扬
页: [1]
查看完整版本: 姬扬:力学教学笔记之秋千人散小庭空