weixin 发表于 2017-11-1 09:24

谈弹塑性力学的物性方程:理论与实验终于协调了

  弹性力学最初的应力-应变关系方程就是胡克定律。但是,塑性力学的物性方程则非为两部分:一是卸载(和再加载)曲线上的线性弹性;二是初次加载曲线上的非线性弹性(增量弹性,全局非线性)。

  在大学学弹性理论的时候,问得多了,老师对这个关系式的回答是:实验发现,基本定理。等到了参加工作后,整天就是研究介质的物性方程,此时才发现,系统性的论述物性方程随变形(或外力)而演化的理论著作奇缺。

  无论是格林的书,还是Truesdell 等的理论,都是引入一般意义上的变形能函数,从而对应变求偏导数而得到物性参数。理论上很严格。但是,在实际工程上不好用,因为我们对变形能函数的具体形式一无所知。从而,只能停留在实验定义上。

  在1960S,Bernstein、Biot等学者指出,就物性方程而言,流体的物质概念、固体的物质概念,增量变形的物质概念、全量变形的物质概念存在不协调性。从而,本应是在物质意义上具有客观统一性的物性方程(指抽象方程),在连续介质力学框架内实际上是分立的。

  理论学家认为这是一个重大的理论问题,而工程力学家则认为这根本就不是问题,固体和液体的物性方程就应该是不一样的,理论学家属于没事找事。

  但是,1960S以后的力学进程证明,物性方程的确是连续介质力学理论的薄弱环节。20世纪后期的研究基本上揭示出,应力的变化(或是等价的应变的变化)导致弹性参数的显著变化,从而开劈了非线性弹塑性力学。

  争论也随之而来,这种变化是几何效应?还是真实的物性变化?这样,就出现了几条路线:

  1、这是几何效应,是应变的定义引起的,从而引入非线性应变(位移场偏导数的积)项。不过,虽然理论形式上严密,但所得到的运动方程几乎无法给出线性解,而是给出大量的失稳解(如混沌解),实验上这类非线性是确定性的。从而,这条路线在持续30年后进入尾声。这是失败的路线。

  2、是真实的物性变化。这个概念在实验意义和工程意义上好接受,但是,我们不知道引起物性变化的自变量,从实验事实上我们知道这个自变量与应变(应力)有关,但没有理论上的确切定义,从而是一个“待定的隐变量”。这条路线也走向了失败。

  3、最后,从工程上来讲,就剩下一条路了:实验测定,建立经验关系。这下就热闹了,各式各样的经验关系被发掘出来,各式各样的数理统计结果(基于统计物理学的办法)被建立起来,随后,相应的各类运动方程的数值求解(基于不同的物性方程)结果多得不得了。形势一片大好,不是小好,而是大好。

  在这个背景下,基于不同的物性方程体系的力学理论和物性方程理论本身一起,导致了大量力学理论的建立。

  理论上的多解性(多个不同的理论给出多个不同的解)与实际工程问题的唯一性间出现了巨大的深沟。数学力学家毫不客气的指出,由于非线性问题的多解性是客观的,实验的结果也一定会出现多值性(分叉)。从而,大批的研究人员开始在实验上寻求多值性。试图用实验来证明理论。

  工程上的确定性,即便是在物性参数随应力或应变显著变化的情况下,变形历程依旧是具有唯一性。多值性的确存在,但是这个分叉依旧是确定性的。工程上需要的是,物性参数为非线性的,但是运动方程的解是唯一的。

  数学家说,这是绝对不可能的!当著名地球物理学家Ricker 给出4阶偏微分波动方程的解析解,并称实验证明这个解对于初始条件的依赖性只表现为两个常数时,数学家和力学家给出的回答是:这是胡扯!然而,不管数学家力学家如何批这样的理论,这个理论经受了半个多世纪实践的检验,成为核心技术的理论基础。但是,对于工程界而言,对这个理论给出严格的理论证明是无能为力的。

  同样的,在1980S,全球著名地震学家Crampin 发表地震波的各向异性理论及波场偏振分裂的一般理论后,随后的学术争议持续至今。争论的焦点扩充到了应变、应力的基本定义问题,而不再限于物性方程。

  一旦是处理波动问题,数学家就弱脾气了,由于波动问题的边界条件是“运动的”,数学上还没有建立一套这样的严格求解理论。现有的波动方程及求解方法(指经典的散度和旋度波动方程)得到的解与实验不符。这样,问题又传递到波动方程上了。由于应变并不是散度(散度只是应变张量的迹),而要定义波动的应变有3个不变量,因此,理论上应该是这3个不变量都进入波动方程。

  不同的说法是,这样的波动方程在根本上就是高度非线性的,没法求解。Truesdell 等寻求的路线是引入初始应力,从而波动方程含有初始应力的平衡方程。在概念上绝对正确:初始应力的平衡和波动应力的平衡是不可分的。但是,在工程上就没价值了,如果用这个方程,需要引入初始应力和波动应力间的耦合系数,而对于这个系数我们一无所知。

  对于石油工程具有巨大价值的介质是固、液、气并存的混合介质,也就是Biot 所研究的增量变形介质。知道这类介质有未知的初始变形。在实验上也知道非线性的起因就是这类可以等效为液体、固体的夹杂物在起作用。这样,在绕了一个大圈后,就形成了新的理论路线:

        · 以任意位形为参考,建立相对于任意位形的增量变形理论(Biot 的矩阵理论;陈至达的基矢变形理论),在应变上想办法,把与弹性波动(增量变形)无关的量撇去,从而得到形式上的线性理论(本质上的非线性理论)。
        · 引入各向异性弹性参数(Crampin用弹性参数吸收微观变形量(初始应力),从而得到线性波动方程(但是方程项数大增))。数学上,等价于用线性方程组来代替高阶的非线性方程(拟线性化)。

  这两条新的路线都给出了确定性的解,而所反映的现象在经典意义上就是非线性力学。理论与实验终于再次协调了。

  就物性方程而言,我把这个历史时期形成的理论结果,用陈至达的理性力学体系进行了系统性的总结性论述(肖建华,应力-应变关系的几何场理论,科学出版社,2017,6)。波动方程论题将另行论述。特此告知对物性方程感兴趣的研究者。核心是:构形应力,弹塑性演化。其它为必要的基础理论性论述。


  来源:本文来自肖建华科学网博客
  作者:肖建华,河南理工大学教授

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