碰撞动力学模型综述
编者按：本文系2005年发布的文章，随着一些新研究成果的发表，本文个别内容可能已经偏离当前现状，但总体而言仍然很值得借鉴和参考。本文目的是展现撞击分析的总体回顾和此领域内的一些重要方法。
1、撞击理论的模型
含动能约束的多体系统的动态分析是已经完善的力学分支。为了建立数学模型，物体都被假设成为刚性，且铰接处认为不含间隙。
撞击问题吸引着从天体物理学到机器人学等不同学科领域学者的注意力。他们的共同目标是发展能够预测撞击物行为的理论。本文主要集中于与刚体有关的撞击模型。
撞击理论的演化主要含有四个方面：经典力学、弹性应力波传播、接触力学和塑性变形。不同的撞击理论适用于不同撞击特性(速度和材料性质)、假设和相关结论。
(1) 经典力学
包含应用基本力学定理来预测撞击后的速度。脉冲-动量定理构成这种方法的核心。Goldsmith在著作中用了一章的篇幅介绍了这种方法在几个问题中的应用。Brach在模拟几个具有实用价值的问题时一律采用了此法。这种方法具有简便和易于实现的特点。实际问题中的能量损失是通过恢复系数实现的。然而，此法不能预报物体之间的接触力和物体的应力。
(2) 弹性应力波传播
撞击通过以撞击点为起点，应力波在撞击物之间的传播描述。总能量中的一部分转化为振动，这样，经典理论就无法验证这种理论。Goldsmith把这种方法应用于如下问题中：两杆的纵向碰撞、质点和杆碰撞、粘弹性对碰撞的影响等。Zukas等也广泛地应用了这一方法。波传播法用来研究细长杆的纵向碰撞问题。
近年文献使用符合运算软件给出两类典型问题：质点杆撞击和杆撞击地面问题的符合表达式解。文献研究了平面波在含空洞材料中的传播与考虑径向剪力和惯性力时波在圆柱形杆中传播具有模拟关系。文献于不对称粘弹性杆在频域的波传播解，给出了理论和实验分析。
(3) 接触力学
两个物体撞击产生的接触应力是碰撞研究中的另一个研究热点。常规接触力学主要与静态接触有关，尽管此法在涉及撞击时已经延伸至近似解。对于球形接触面，Hertz理论常被用于撞击关系的获得，从而计算撞击时间和最大变形。
此方法还被用于含塑性变形的情况。通常假设材料有一个屈服点。当Hertz理论不适用时，也可使用屈服区模型。撞击力变形关系常通过增加一个阻尼项来反映接触区域的能量耗散，从而允许把接触区作为一个弹簧-阻尼系统的模型。
(4) 塑性变形
当塑性应变超过容许变形时，弹性波模型不再适用于分析撞击问题。这类问题属于高速撞击问题，如发生爆炸和侵彻时。Goldsmith提供了2种方法：水动力学理论和塑性波传播理论。
水动力学理论中，假设物体密度发生变化，材料的状态方程于密度、温度的变化相关，同时利用了能量、动量和质量守恒定理。而塑性波传播理论中，塑性区的材料认为是不可压缩的。同样，与应变、应力、应变率有关的状态方程假设与温度无关。
Maugin和Lubliner假设了脆性材料，荷载的加载是一个长时间的过程。Zukas提供了分别使用应变相关和应变独立理论的塑性波传播理论。文献考虑了梁与梁碰撞的问题，采用了质量-弹簧模型。梁之间的能量能够很好地近似刚塑性解。
工程师常需要解答如下2个基本问题：(1) 撞击前后速度变化的关系。(2) 撞击点的碰撞力多少?
当恢复系数给定时，脉冲-动量定理 方法能够回答第一个问题。但前面已经提到，此法不能确定撞击力，即解决不了第二个问题。波传播理论可以得到撞击物内的应力，但动力分析中的积分比较复杂。接触力学方法把接触区域作为弹簧-阻尼系统，使撞击问题作为连续时间动力问题处理。塑性大应变理论在解决弹道学领域中的爆炸、侵彻时最有效。但本文不涉及这方面中高速碰撞问题。
2、关于恢复系数的历史与现状
根据Kozlov，关于撞击的首次研究可追溯道1668年，由Wallis, Wren和Huygens进行。Netwon后来于1687年在他的著作《Mathematical Foundations of Natural Philosophy》中参考了Wren的工作。Huygens的工作成果是推导出了动量守恒定理，从而成为撞击理论的基础。
这个理论的主要假设是认为物体是刚性的，因此撞击持续时间为0。单独使用动量守恒定理不足以确定撞击后撞击物和靶体各自的速度。因此初等撞击理论考虑了两种极限情况：完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞。完全弹性碰撞指碰撞前后系统的动能守恒。而完全非弹性碰撞指撞击后撞击物和靶体连为一体共同运动，从而组合体的速度可以通过定理守恒定理确定。然而，通常的撞击既不是完全弹性碰撞，也不是完全非弹性碰撞。初始动能的损失是通过恢复系数e的引入(Netwon提出这一观点)来实现的。
其中下标1和2分别表示撞击物和靶体，而i和f分别表示初始(initial)状态和最终(final)状态。e是个无量纲的系数，其值介于0和1之间，0对应于完全弹性状态，1对应于完全非弹性状态。恢复系数的一个对能量损失的综合概念，可包括不同的能量损失，如材料的粘弹性、接触面的塑性变形和两个物体之间的振动等。
恢复系数不是仅仅依赖于材料的一种固有属性，它取决于撞击物和靶体的材料、接触面的几何性质和撞击速度。近年来，文献使用能量法研究细长杆与光滑界面碰撞的恢复系数，提出了影响恢复系数的2个因素：碰撞倾斜解和反映杆几乎和材料性质的常数Hr。使用恢复系数的优点在于数学表达上的简洁性。
姚文莉使用波传播理论分别提出质点与杆和梁碰撞的恢复系数的求法。得到损失波动能量在质点-杆碰撞问题中所占比例的数学表达式。Brach在文献中广泛使用了恢复系数来解决撞击问题。Brach还注意到恢复系数可取-1和0之间的数。这表明在撞击过程中损失了一些能量，但并不产生速度方向的改变。如侵彻物在穿过靶体时虽然降低了自身速度，但速度方向没有改变。
若干文献研究了撞击物初始速度与恢复系数的关系。靶体是粘弹性材料时，提出如下观点：
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上式表明撞击速率越大，恢复系数就会变低。也即撞击物高速碰撞时，损失的能量更多。上式仅考虑粘弹性材料。现实中，还有其他的因素需要考虑。高速碰撞时，弹性波传播时的耗散及塑性变形消耗的能量需要考虑。而低速碰撞时的粘性力和重力显得更加重要。文献中利用恢复系数讨论了粘弹性地基上的撞击响应问题。
3、接触力-变形模型
关于撞击力初级理论的上述综述基于完全刚体的简化假设。撞击物的实际情形是复杂的，并且撞击持续时间决对大于0。更为接近实际的模型是采用连续时间动态模型。这个方法的成功之处在于基于完善的数学模型。通常，接触力-变形关系如下：
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Fc是接触力的弹性部分，Fv是粘弹性阻尼部分，Fp是由塑性变形导致的耗散部分。以下主要介绍接触力的弹性部分。其中1882年Hert关于半无限固体的弹性接触工作具有重大意义。Johnson对此理论做了很好的介绍，并于附录中列举了相关公式。Hertz理论指出了应力在接触区的分布，也给出计算法向应力和剪切应力在撞击体内的分布。一个很常用的结论是球体-球体接触时的接触力-变形关系：
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其中F是撞击物和靶体之间压缩时的法向力，δ是两个球体之间的缩进，也即两个表面之间总的变形，K是取决于球体半径和材料弹性常数的常数。
4、近年来的进展
(1) 柔性撞击
用子结构方法研究了刚性小球和均匀柔性杆的纵向碰撞及和均匀柔性梁的横向碰撞问题，导出了用模态坐标表示的动力学方程。
(2) 直接模态叠加法研究弹性撞击问题
邢誉峰等利用DMSM策略，讨论了等截面杆、梁的碰撞问题。文献指出：这种方法可以得到结构弹性碰撞问题的解析解;这种方法不但可以用来分析平动结构的碰撞问题，还可以用来分析机构的各种弹性锁定问题;不但可以用来分析结构的点碰撞问题，对结构的线、面接触和碰撞等问题同样有效。
对于梁碰撞问题，文献进行了如下研究：考虑线弹性接触变形的前提下,分别对质点、杆与简支Euler-Bernoulli梁的垂直正撞问题进行了研究。文献基于不同梁理论：Euler梁、Timoshenko梁和翘曲理论，比较了结构遭受冲击的动态响应。
文献中，如果用一个假想的弹簧来模拟两个结构相碰处的接触刚度，并通过该弹簧把撞击体和靶体联系成一个组合振动体系，就可把结构碰撞分析转化为常规的结构振动响应分析问题，即是该组合振动体系在其撞击部分具有给定初始速度模式下的振动响应问题。因此可以方便地直接使用常规的振动模态叠加法或时间积分法来求解撞击问题。文献具体报道了利用解析模态和有限元离散模态求解质点-弹性杆的撞击力变化过程，并讨论了各种因素以及有限元建模对结果的影响。
(3) 纤维复合板
复合板受到低速撞击问题已被许多学者研究过。Sun和Chattopadhyay研究了一个四边简支各向同性板受到中心撞击的情形，并考虑了横向剪切变形。Dobyns研究了受均布矩形荷载时的撞击情形。A.Carvalho和C Guedes Soares也研究了板的撞击响应，对位移、转角采用Fourier级数展开，数值积分用Nemark方法，并与拉普拉斯解进行了比较。
(4) 有限元方面的进展
文献较早使用有限元方法研究了接触/撞击问题。还有文献使用辛方法研究了非线性撞击问题。Jerome M. Solberg, Panayiotis Papadopoulos基于非线性力学有限元原理，使用数值方法研究了接触/撞击问题。对于无摩擦问题，建立数值微分方程。在接触面上损失了一部分能量，以稳定接触面的动能场。数值解采用了Nemark积分法，较好地模拟了接触/撞击过程。文献依据波传播理论提出一种新的数值算法：含有模态综合的有限元计算法，并与柔性杆受轴向撞击的经典St. Venant解进行了比较。
台湾学者R.-F. FUNG AND J.-H. SUN和 J.-W. WU研究了研究了滑动曲柄机构在撞击下的轨迹控制。Khulief and Shabana通过GMB途径来研究多体系统的撞击问题，同时发展了CFM方法来研究多体系统撞击问题。
除了上述研究，近年来许多学者对不等截面杆及受载梁的自由振动进行了大量研究。Q.S. LI等对等截面杆、不等截面杆含有集中质量-弹簧耦合系统进行了大量研究。
M. Gürgöze针对两个固支-自由纵向振动杆，端部带有质量块，由两弹簧-质量系统耦合文献，还讨论了梁含有阻尼器的自由振动。
注:
原文前半部分翻译自文献：Salah Faik, Holly Witteman. Modeling of Impact Dynamics: A Literature Survey. International ADAMS User Conference. 2000. 1-11.并结合自己的阅读写成。
本文由摘自西北工业大学工程力学系鲍四元翻译并整理《碰撞动力学模型综述》一文。该文由MVH于2005年7月10日转发于声振论坛，原文为科研中国(www.SciEi.com)特邀论文。
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