如何学好小波变换：理解小波变换的思想
由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换。但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题。所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识。最重要是的理解小波变换的思想!从这个意义上说付立叶变换这一关必需得过!因为小波变换的基础知识在付立叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将付立叶分析作为其重要内容的原因。所以我认为学习小波应从《数字信号处理》中的付立叶分析开始。当然也可从《信号与系统》这本书开始。然后再看杨福生老师的小波变换书。个人觉得他的书最能为工科学生所接受。
1、信号的分解
付立叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基。通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等。付立叶变换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多。
小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加。其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节。所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数。
2、小波变换的时频分析思想
付立叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分。对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，付立叶变换就失去了意义(包括加窗付立叶变换)。因为我们要找的是信号的奇异点(时域方面)和奇异点处所包含的频带(频域方面)也就是说需要一种时频分析方法。
当然能有纯时域的分析方法更好!(据说数学形态学能达到这种效果)。小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的"小"。因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多。
3、小波变换的实质
小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的。它要求的就是一个个小波分量的系数也就是"权"。其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地"量"信号，也就是去比较信号与小波的相似程度。信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小!当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比较，从而得出一组组数据。如此这般循环，最后得出的就是信号的小波分解(小波级数)。当然这只是一种粗略的解释。
4、连续小波变换，二进小波变换与离散小波变换的关系
当尺度及位移均作连续变化时，可以理解必将产生一大堆数据，作实际应用时并不需要这么多的数据，因此就产生了离散的思想。将尺度作二进离散就得到二进小波变换，同时也将信号的频带作了二进离散。当觉得二进离散数据量仍显大时，同时将位移也作离散就得到了离散小波变换!
5、MALLAT算法的意义
想必大家都注意到，小波变换是以内积或卷积的形式实现的，这给数值计算带来了不利之处，因为用计算机作数值积分其计算量大。MALLAT算法则解决了这一问题，它不涉及小波的具体形式，只是对系数进行操作!其计算也就是用高通及低通滤波系数与小波系数作卷积。因为作信号处理时，我们往往并不关心小皮的具体形式，更为关心小波系数。需提出的是该算法仅适用于正交小波如果小波不是正交的(如B样条小波)则算法失效!
6、小波变换的模极大值及其意义
对于我们搞信号奇异性检测的人来说，小波变换最重要的应用就是用模极大值定值奇异点。我觉得模极大值可以从两个方面去理解：第一，从直观角度，上文已说明小波变换的实质就是一种度量波形相似程度的方法。信号与小波越相似，则小波系数越大。这也就可理解为出现了小波变换的模极大值。因为当信号出现奇异点时，或是间断点，或是一阶导数不连续点，其在各个尺度下都将必然出现大的小波系数。从而可以定位奇异点!
第二个方面从小波的取法来看，当小波取为光滑函数一阶导数或二阶导数时，从公式可以推导出小波变换将出现模极大值点或是过零点。也就是很多书上说的模极大值检测和零交叉检测。这些可以查书看!
我只谈谈连续小波变换，对于离散的也有同样的argument。小波函数的dilation和translation是这样一个形式：1/sqrt{|s|}psi((x-u)/s)，s是scale，u是该小波atom的center。
由于根据定义，小波的积分是0，也就是说小波函数的傅立叶变换在零点为零。再有于小波函数的傅立叶变换一般是连续的(比如如果小波是属于L_1的)，这样在0的一个小临域里面，小波的傅立叶变换很接近零，这也就是说小波函数的傅立叶变换可以看成某个高通滤波器的transferfunction，这样小波变换W(f)实际是在measure该函数f在u点附近的variation。
从这个角度看的话，如果小波的宽度很大(对应尺度s很大)，该函数在该小波的窗口下的variation就很大;如果小波的宽度小(对应尺度s小)，则函数在该小波的窗口下的variation就相对比较小(除非信号是fractal)。
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