结构在多点平稳激励和非平稳激励下的虚拟激励方法
工程中的多相位激励问题很多，比如：· 车辆受路面(轨道表面)的激励
· 海洋平台 受波浪随机激励
· 大跨度结构受地震作用的行波效应
这类问题需要考虑不同基础节点的运动相位差(即行波效应)，如果按照传统的随机振动方法，其计算工作量极大，是随机振动工程应用的一大障碍。
n自由度的弹性结构受多点(m点)异相位平稳随机激励可以表示为：
特点：激励间完全相干。
其相应的虚拟激励可表示为：
由此可以讲问题转化为广义单激励(简谐激励)问题。
多输入多输出问题(MIMO problems)
假定：(m×m)激励谱矩阵[Sxx(ω)]已知。它是一个Hermite矩阵, 可以分解为：
其中r ≤ m，r是 [Sxx(ω)]的秩(rank)。也可以用Hermite矩阵的乔列斯基(LDLT)分解来代替特征分解。
构造r个虚拟简谐激励：
对于每一个虚拟激励，容易求得相应的虚拟响应，记为：
很容易可以证明得到：
auto-PSD matrix：
cross-PSD matrix：
Vanmarcke与Kiureghian争论不休(1995)，是因为没有发现这一条捷径。
林家浩等早在1994年就在Computers & Structures刊登了这一方法。 他们在1995年的争论其实已经没有什么意义了。
结构受到非平稳随机激励 f(t):
已知：调制函数g(t)及x(t)的自谱密度Sxx(ω)，需求解：
应用虚拟激励法 (Pseudo Excitation Method)对该问题进行分析：
令
计算瞬态响应
则可以证明，要求的功率谱矩阵为：
auto-PSD：
cross-PSD：
将上述方法应用于结构分析问题：
令
则上述结构动力学方程可改写为：
初始条件为：
则可由常规的逐步积分法计算(例如Newmark,Wilson-θ法等)得到：
于是{y(ω,t)}和{z(ω,t)}的功率谱可表示为：
用精细积分法求解十分有效，在经典阻尼条件下，比用Newmark法快1-2个数量级。见林家浩，张亚辉，《随机振动的虚拟激励法》第4-5章，科学出版社，2004。
下面以T.K.Caughey于1961年提出的单自由度体系受突加白噪声激励经典考题为例，对该方法进行进一步说明。
其中：
Constitute pseudo excitation
Eq.(1) becomes
Its transient solution is
The PSD of y by PEM is
The solution given by Caughey is
I.G.Gupta & M.D.Trifunac commented the solutions of the above Caughey’s problem in 2000 in a reviewing paper
In this paper they only listed the pseudo excitation method.And pointed out that
Lin et al. have obtained this solution as (“PEM formulas”inserted here). This expression is, in fact, identical to that used in several past studies(Caughey TK and Stumof HJ 1961,Harmond JK 1968, Corotis RB and Vanmarcke EH1972), where it is presented in an algebraically less concise form. ……Comparison of Eq.(24) with Eq.(1) indicates that can also be obtained as a solution of the response of a SDOF oscilatior to input excitation. Follow Lin et al., this is termed as “pseudo excitation algorithm”.
林家浩在加州理工学院作学术报告后与T.K.Caughey合影
Structures subjected to non-uniformly 非均匀调制问题
modulated evolutionary random excitations f(t)：
According to Priestley (1967)
Riemann-Stieltjes Integration
A(ω,t) non-uniform modulation function非均匀调制函数
Sxx(ω，t)不但幅值随时间变化，形状、峰值也随时间变化。均匀调制函数g(t) 要用非均匀调制函数A(ω，t)代替。
known：modulation function A(ω，t)
PSD of x(t)：Sxx(ω，t)
To compute：[Syy(ω，t)]，[Syz(ω，t)
The Riemann-Stieltjes integration has caused essential difficulty in the conventional response computation
这模型在地震工程中被广泛接受，但是长期以来，数值计算很不方便。
PEM(Pseudo Excitation Method)：
用虚拟激励法计算：
The response PSD matrices are
auto-PSD：
cross-PSD：
始终是这对公式!
本文摘录整理自林家浩等在2009年同济大学随机振动理论与应用暑假讨论班上的报告《虚拟激励法的进展与前瞻》。
这个能用ANSYS实现么？
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