谈谈关于振动系统特性
关于振动，最常见的问题是“这个设备/车/豆浆机的振动噪音有多大”“旁边的地铁/车行驶在颠簸路上/运行的流水线对房屋/乘客/检测设备有多大影响”。对于第一类问题，属于系统本身有振动，想要知道基础上有什么响应，第二类问题则是说当外部有振动传来时，被考察的系统会怎么样。它们分别被称为积极隔振问题和消极隔振问题。
回答这两类问题的关键就在于是否能对一个系统在振动环境中的响应做出准确的评估。兵法云“多算胜，少算不胜..”，对于如何预测振动系统的表现，我们有办法，算它。
现实世界中的振动形式各种各样，不妨从简单的情况出发去理解这些现象。
一个最简单的振动系统是这样的：
弹簧支撑着一个质量。弹簧的弹性可存储和释放能量，弹簧的阻尼会吸收消耗能量(虽然金属材料的阻尼很小)。若它只有一个质量，一个运动方向，我们叫它单自由度振动系统。根据略过的许多定律和假设，这个系统的平衡方程如下。(无论积极隔振问题还是消极隔振问题，它们都可用同一个方程来表达，这篇短文中唯二的公式之一):
这个方程建立了系统参数和响应之间的联系。从中可得到好几个有用的规律。
· 质量，刚度和阻尼与固有频率之间的关系
· 固有频率，激励频率，阻尼与传递率(频率响应)之间的关系
· 阻尼对振幅，循环次数的影响
通过简单的计算就能知道这个系统在振动环境下会有什么表现。只是，在实际中碰到的问题能用单自由度振动系统来模拟的不多，大多数时候振动系统会有好几个运动形态，或者有多个分离的质量。这时可以把这个复杂的振动系统拆分成很多个叠加在一起的单自由度系统。问题转化为解由有限个单自由度平衡方程组成的方程组。把单自由度平衡方程扩展一下，方程中的所有量都加上[]，用矩阵的形式表达各个自由度的参数，这样就变成了一个多自由度系统的平衡方程。矩阵阶数既是自由度的数量。单自由度系统是一阶矩阵，是它的特例。
略过证明和计算过程，这个矩阵方程的特征值和特征向量，就是系统的固有频率和模态矩阵。多自由度系统的固有频率数量与自由度的数量相同，每个固有频率对应一个振动模态，每个模态由一个和自由度数量相同的向量表示。系统对激励的响应就由这些模态的线性组合构成。
单自由度系统中解的规律在这里仍然有效。刚度，阻尼，质量与固有频率之间的关系没变，只是增加了维度。相比单自由度系统，模态和耦合是新的概念。模态表示运动的形态，用代表各个自由度上相对位移量表示，是一个向量。耦合用来衡量一个模态中各个自由度之间的关联程度，常用能量在各个自由度间分配的比率来表示。把复杂系统分解为有限数量的单自由度振动系统，这个方法能够分析很多振动问题。对于具有连续质量的物体，可以把它当作多自由度系统的一种极端情况。如柔性杆，弹性壳等结构的振动，波在介质中的传播等问题，本质上与多自由度系统的相同。只不过获得这种方程的解析解常常是有条件的。好在随着计算能力的提高，得到较准确的数值解也变得相对容易了。
所以，只要获得主要的系统参数，就可建立理论模型(方程)，从而可以预测出这个系统在某个激励下会有什么样的响应。相应的，也能通过调整或设计相关参数，使系统的响应特性符合需要。这是设计振动/隔振系统的一个主要方法。不过这个方法应用的局限和前提也需要特别注意。在把具体问题抽象出来，建模分析的过程中有一些前提条件，最主要的一点，是假设这个系统是线性定常的。线性保证了叠加原理在系统中是有效的，定常保证了系统响应与时间历程无关，只与当前的状态有关。此外在抽取系统参数过程中，还不可避免的会合并结构，简化输入输出的特性，忽略次要细节等。这些都会使理论计算的结果与系统的实际表现有差异。所以在用这些计算结果指导实际时，要特别注意它们和现实情况的差异之处。
建立系统模型→分析动态特性→预估振动表现→获得系统参数和响应特性之间明确的关系→采取措施控制振动影响，是一种有效的正向设计思路。可还有很多情形中无法获得足够的信息来描述物理关系，或者相互影响的因素特别多无法考虑到所有的关联关系，导致不能事先建立系统的数学模型，这时要获得系统的响应特性需换个方式。根据系统的输入和输出，推断(算)出系统的模态等固有属性，即模态分析方法。对马里奥来说，箱子里面什么样不重要，只要知道第几次会得到奖励就好了。
模态分析的重点是求得系统的传递函数。本篇唯二方程之二，是把系统方程写成传递函数的形式:
方程只有三个部分，一个是输入，一个是输出，中间是和系统参数相关的传递函数。输入和输出可以通过测量得到，解出传递函数的过程相当于平衡方程的逆运算。模态分析的理论和方法很多，大多是把数据转换到频域内计算，不过根据时域数据直接获得模态的方法也有很多发展。
有一组输入输出数据就可以建立一个方程组，并得到一个传递函数。这个传递函数中包含了系统(所有)模态在这个输入激励下的表现。需要有和模态数(自由度)相同数量且互质的传递函数方程联立，才能唯一解出模态矩阵，即各个单独的模态。这个过程叫模态识别。
输入输出数据是经实验测量得到的。实验需一组传感器采集结构的振动加速度，激振器或力锤记录输入信号。最终能够识别的模态数量与传感器数量、传感器布置位置有关。能获得的模态频率和输入的能量大小有关。对于一个未知的系统来说，这个工作很需要一些直觉。模态分析方法中大量的计算基本上由计算机完成，但数据的处理过程仍需人工干预，这是一种较依赖工程经验的工作。
模态识别方法基于实际的系统响应，这一过程包含了有所有的结构细节，能够获得真实的系统表现。但有时在试验中可能会引入过多的噪声，或遗漏某种重要模态。对于复杂的或技术要求高的系统，常常需同时用模态识别方法和解析计算方法来获得系统特性，两种方法可以互相检查和补充。
计算出系统的响应特性，就可以回答之前的各种振动方面的问题。以振动系统的特性或传递函数为基础，我们可以推测地质构造，也能模拟昆虫的翅膀运动，或者探究人耳的工作机理…设计出更可靠的工具，创造更舒适的环境。
作者简介：
武欣欣，十余年从事商用车辆和设备的隔振设计和减振器开发
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