结构有限元分析中的静力分析 —— 非线性分析
什么是非线性
在讨论非线性静力分析之前，先看看什么是非线性。
简单说，非线性系统指的就是输入和输出之间不再是线性关系，因此也失去了线性系统的一些性质，如交换和叠加等。
对于一个非线性系统，通常会定量或定性地将其拆成线性部分和非线性部分，对于线性的偏离程度被称为非线性的强弱。
对于弱非线性和强非线性在不同领域有不同的处理方法。
关于弱非线性的分析方法，大多是围绕着线性系统增加一些处理实现的，如摄动、平均等，很多能得到近似理论解；而强非线性问题就复杂得多，一般通过数值解来实现。
这里不讨论弱非线性问题的解析方法，将非线性问题的处理统一到数值分析方法中。
基本概念
非线性问题有很多种方法，如Newton- Raphson法、Steffensen法、弦割法和抛物线法等，这里仅介绍有限元分析中主流采用的Newton- Raphson方法。
在数值求解非线性问题时，通常会将求解域分解为若干个子域，然后在子域内建立方程的迭代公式，最后递推到整个求解域。
有限元分析中，有这么几个相关的概念：
· 步（Step）：通常指载荷步，在分析过程中，将整个加载过程分为若干个先后步骤；如分析弹塑性问题时，第一步加载，第二步卸载；当然加载过程也可以分解成多个Step，不过通常这个可以在求解过程中由多个子步(Substep)实现；
· 子步（Substep）：由于每个Step是非线性的，为了求解，将其分解为多个Substep，保证每个Substep收敛，最终实现每个Step收敛；
· 迭代（iteration）：在每个Substep中，需要通过iteration求解，实现每个Substep收敛；
· 收敛（convergence）：一般分为绝对值收敛和相对值收敛，即在求解过程中，判断解的波动值是否小于某一给定的值，若小于则表示满足收敛判据，iteration停止，进入下一环节；反之则继续下一次迭代。
Newton-Raphson方法
简单介绍一下Newton-Raphson的实现过程。
Step和实际物理过程对应，这里就不详细介绍了。
首要考虑的问题是如何分割Substep；通常有固定划分和自动划分两种：
· 固定划分就定义每个Substep步长，通常等间隔划分；
· 自动划分通过先前计算的步长预测下次步长，每次步长自动调整，由Initial、Min和Max控制；其中Initial为第一个子步的初始尝试，Min/Max为最大/最小；分为步长数和步长间隔两种方控制。
接下来的问题就是每个子步如何通过多个iteration实现子步的收敛。
· 该子步中，设第i个迭代步时的位移为Ui、刚度K(Ui)=Ki，即实际中是切线刚度矩阵KTi(tangentmatrix)，也是JaobianMatrix；子步终止时的载荷为Pa
· 计算载荷残差(不平衡力)∆Pi=Pa-Kiqi，计算位移残差∆qi=∆Pi/Ki
· 计算qi+1=qi+∆qi
· 位移收敛：判断| qi+1-qi |/ qi =|∆qi |/ qi的值是否小于给定收敛容差ε，若小于则此Substep收敛；否则重复以上两步。力收敛：判断| Pa-Pi |/ Pi =|∆Pi |/ Pi的值是否小于给定收敛容差ε，若小于则此Substep收敛；否则重复以上两步
· 此外，由于每次更新切线刚度矩阵计算量过大，如果每次迭代采用初始切线刚度矩阵，大大减少计算量，不过会增加迭代次数，这种方法叫做修正的Newton-Raphson法。
整个Step中的迭代计算。
其他技巧
以上是有限元中求解非线性问题的基本流程，但在实际是使用中，非线性问题的收敛是非常困难的；有一些通用的技巧被用到求解过程中，使得求解变得相对容易进行下去；尽管有一些处理方法，但是总体而言，非线性问题仍是非常困难，收敛过程需要大量的“调参”，同时平衡收敛、准确和耗时，需要通过大量的案例获取经验。
这些技巧主要包括：
· 自动子步：通过开启自动子步，并通过Initial、Min、Max控制，分为步长数和步长间隔两种方式；
· 切线刚度矩阵自适应下降(AdaptiveDescent)：通过给予切线刚度矩阵添加一个修正刚度矩阵改善收敛性；
· 线性搜索(LineSerach)：迭代过程中，给予迭代位移增量乘一个小于1的比例系数；
· 弧长法(Arc-Length)：对于不稳定类型的非线性问题，利用弧长法有较好的效果；不光滑以及不连续之类的非线性问题，如接触和理想弹塑性，效果不好。
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