试验那点事之圩：小波/时频分析
我们认识一个信号，不仅需要了解信号包含的频率，还需要明确频率随时间是如何变化的。尤其对于瞬态信号如敲击声等，传统频域分析方法傅里叶变换不能很好的分析瞬态信号，使用小波分析来处理瞬态信号，是一个不错的选择。某一时域信号，傅里叶变换和小波分析结果对比如图1所示，比较两张彩色图可以得出如下结论：小波分析提供了更精确的时频信息，并且时频分辨率均优于傅里叶变换结果。
图1
傅里叶变换
傅里叶变换可以把一个时域信号分解成若干个正弦波的叠加，如图2所示。
图2
傅里叶变换中，信号时长和频域分辨率互为倒数。互为倒数关系导致时域分辨率高时，频域分辨率低；频域分辨率高时，时域分辨率低。
如图3所示0.5s时域信号，信号观察时长选为0.02s时，时域分辨比较好，但频域分辨率不好，等于1/0.02为50Hz；信号观察时长选为0.2s时，频域分辨率1/0.2为5Hz，频域分辨率改善很多，但时域分辨率变差了。
图3
小波
时域信号可以分解成若干个正弦波的叠加，也可以分解成若干个小波的叠加。
小波是一种快速增加、约零均值振荡并且幅值迅速衰减的函数。如图4所示，左侧图正弦函数是傅里叶变换的基，右侧图小波函数是小波分析的基。
图4
如图5所示，小波函数可以拉伸和压缩。拉伸后的小波(如图5左侧)可以量化信号中缓变信息，对应信号中低频成分；压缩后的小波(如图5右侧)可以量化信号中突变信息，对应信号中高频成分。
图5
小波可以被认为一簇离散时间的带通滤波器组，频域中的小波具有带通滤波器特性，通过拉伸和压缩小波，实现带通滤波器中心频率向上或向下移动。
小波分析通过小波平移来提取信号中的时间信息，如图6所示。
图6
小波分析过程步骤如下：
· 将不同幅值尺度和平移量小波与原始信号进行卷积，以确定原始信号是否具有相似的频率成分。
· 每个小波具有相应的“频率”，卷积结果将确定该特定平移量(时间)处的原始信号是否也包含相同的频率。
综上，可以通过小波分析确定信号在什么时间存在什么频率成分。
傅里叶变换与小波分析原理对比
如图7左侧图所示，傅里叶变换对高低频都使用相同的时间观察窗，时间和频率是一个固定的关系。
图7
如图7右侧图所示，小波分析对低频使用较长时间窗，对高频使用较短时间窗，时长选择和频率有关。
小波分析在低频段，由于使用较长时间窗，频域分辨率较好，时域分辨率差一些。
小波分析在高频段，由于使用较短时间窗，时域分辨率较好，频域分辨率差一些。
时间分辨率变化是由于小波分析在低频段拉伸和小波在高频段收缩所导致。
频域分辨率变化是由于小波分析在频域中不是线性的，是基于倍频程的。在低频段，倍频程宽度较窄，频域分辨率较好；在高频段，倍频程宽度较宽，频域分辨率较差。
如图8所示，是一个瞬态信号的小波分析结果，结合图7右侧图一起理解下信号在时频域内分辨率是如何变化的。
图8
脉冲信号变换到频域内能量是分布在全频带的，通常瞬态信号可以看做类脉冲信号，在频域内观察瞬态信号其能量也是分布在较宽频带内。因此在高频段内特别好的频域分辨率不是很有必要，小波分析在高频带内的频域分辨率相对不好其实并不重要，但小波分析很优秀的时域分辨率对分析瞬态信号特别的重要。
傅里叶变换和小波分析输出对比
傅里叶变换按照固定的时间增量，计算获得幅值VS频率结果，呈现在瀑布图或彩色图(进行了插值及平滑处理)中，如图9所示。
图9
小波分析按照固定的频率增量，计算获得幅值VS时间结果，呈现在瀑布图或彩色图(进行了插值及平滑处理)中，如图10所示。
图10
在Simcenter Testlab中如何进行小波分析？
按照Tools → Add-ins路径加入Time-Variant Frequency Analysis插件，如图11所示。
图11
在Time Data Selection界面，读入待分析的信号，选择要分析信号段，点击“Use Segment for Processing”按钮，如图12所示。
图12
接下来有两种方法计算小波分析。
方法一
在Time Frequency Analysis界面按照如图13所示1、2和3步骤进行小波分析。
图13
第2步中参数说明如下：
· Bandwidth：由信号采样频率决定，不可更改；
· Min Freq：小波分析结果的最小频率，如果你想设置到0是不可实现的；
· Max Freq：小波分析结果的最大频率；
· Wavelets/octave：定义一个倍频程内使用的小波数目，数越大彩色图分辨率越好，但需要的存储空间也越大，需要综合考量设置一个合适值。
方法二
按照Tools → Add-ins路径加入Signature Throughput Processing插件，如图14所示。
图14
在Time Data Processing界面按照如图15所示2和3步骤进行小波分析；
图15
方法一是小波分析专用界面，方便设置及调整小波各种参数；方法二更适合批量处理数据。
小波分析结果文件大小管理方法
小波分析可以获得时频高分辨率的结果文件，但也会占用很多硬盘存储空间，尤其进行批处理或进行大量数据分析时，设置合适的参数获得分辨率不错的结果文件并且该结果文件占用较少存储空间是我们大家都喜闻乐见的。
调整每个倍频程的小波数目
如图16所示，上图是4个小波每倍频程，中图是16个小波每倍频程，下图是32个小波每倍频程。
对比上中下三张图后，我们发现：
4个小波每倍频程结果文件分辨率较差，16个小波每倍频程和32个小波每倍频程结果文件分辨率较好。但32个小波每倍频程相对于16个小波每倍频程分辨率基本无改善，但存储空间增大不少。在这种情形下，设置16个小波每倍频程是明智的选择，分辨率较好并且存储空间也不大，Win-Win！
图16
设置降采样率
如果不设置降采样率，小波彩色图中时间块将具有与原始时间信号采样率相同的X轴分辨率(如使用100个小波分析50,000个数据点时间信号，将产生50,000 x 100个数据集)，这样会占用大量磁盘存储空间和大量后处理时间，因此小波分析中应设置降采样率参数以缩减结果文件大小。
在Time Frequency Analysis界面，可以点击Settings，在弹窗中设置降采样率，如图17所示。
图17
也可以在Time Data Processing界面，点击 Change Settings...，在弹窗中设置降采样率，如图18所示。
图18
小波分析实例
活塞往复运动撞击汽缸壁时发生活塞拍击现象，这会引起可听见的瞬态噪声。
图19
工程师希望确定活塞拍打的准确时刻，以确定曲轴转角大小。 傅里叶变换方法并不能准确确定活塞拍打时刻，但小波分析可以明确指示出活塞拍击时刻和频率成分。
在图20所示，上图显示了发动机缸体附近传声器采集获得的声压时域信号，一些瞬态事件(对应活塞拍打)用黑圈圈出， 该数据以两种方式分析：FFT(中图)和小波(下图)。
对比结果可以看出：FFT结果无法指示时域或频域特征，小波分析具有更好的时间及频率分辨率，活塞拍打时刻和频率可以从彩色图上清晰获取。
图20
小波分析可适用于任何类型的瞬态信号：活塞拍打声、门板撞击声、冲击声、柴油咔嗒声、喷射滴答声和按钮咔嗒声等。
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