阻尼模态理论中的知识要点介绍（下）
四、一般阻尼结构系统的振动特性1. 状态方程及其特征问题在前面讨论了阻尼结构系统动力学基本方程的特征解，但这样的分析方法不便于分析其规律性。比例阻尼结构系统由于它的阻尼矩阵在固有模态空间内的正交解耦性，在上一节里分析了它的模态特性，给出了实模态理论，但它仅适用于瑞利阻尼和柯希阻尼这类比例阻尼模型。阻尼结构系统的阻尼矩阵在固有模态空间内并不一定具有正交解耦性，对于阻尼矩阵不存在这种正交解耦性的称为一般阻尼结构系统。这类一般阻尼结构系统的模态特性宜在状态空间内分析，无外激励 ({f(t )}=0) 的阻尼结构系统状态方程由
给出
其中，状态向量{y(t )} 是由
定义为
其状态矩阵是由
给出
无外激励的阻尼结构系统状态方程式是个齐次一阶常系数常微分矩阵方程。它的基本解具有如下形式
将它代入状态方程后，构成为2n 阶广义特征值问题，它是
由此解出的2n 特征对是：特征值λci 和特征向量{ψi }，(i=1,2,...2n)。
2. 特征值与状态特征向量
给出的特征方程上式，可分析它的特征解如下：
(1) 特征值
上式的非零解存在条件是它的系数行列式等于零，即
这是一个2n 阶行列式，给出λc 的2n 次代数方程，将解出2n 个特征值。由于状态矩阵 和 是不具有正定性的实对称矩阵，特征方程中解出的特征值λci在小阻尼情况下是共轭或对的复数解，把它记为
其中，λci 与λci *是一对复共轭的第i 阶特征值，ni是其阻尼系数，ωdi是其阻尼频率。它的特征值又称为复频率，共有n 对复共轭特征根，(i=1,2,…,n)。
(2) 状态特征向量
对应于特征值λci的状态特征向量{ψi }由下式解出
由于特征值是共轭成对的复根λci与λci *，对应的状态特征向量也是复共轭成对的，它们是{ψi } 与{ψi*}，共有n 对复共轭向量 (i=1,2,…,n)。由于结构系统是在物理位移空间内发生振动，它的特征解若是复数必是共轭成对的，藉以保证状态向量解{y(t )}是实向量。上式是个齐次线性代数方程，是个不满秩方程，只能解出具有任意复常数倍的特征向量。
(3) 状态特征向量的正交性
从上式可推得状态特征向量的正交性。特征解λci，{ψi } 是满足特征方程，另一对特征解是λcj，{ψj }也满足特征方程。现用{ψi}ᵀ 前乘上式得
同理，用{ψi }ᵀ前乘第j 阶模态的特征方程有
两式相减，利用状态向量 和 的对称性，得
和
其中，αi，βi是复数，由状态特征向量的规一化方法确定。若对矩阵 规一，即αi=1，这时βi=-λci，它们是正则化的状态特征向量。
3. 位移模态向量
一般阻尼结构系统的振特性在状态空间内作了分析，它的特征解全都是复数：复特征值λci 与复特征向量{ψi}，共有2n个解，对于小阻尼情况，则是n对复共轭的特征对。
在结构动力学分析中，输出的是位移向量{x(t)}，现在分析位移空间内的振动特性。阻尼结构系统的状态向量是由其位移向量{x(t)}和速度向量{x▪(t)}组成，由下式定义。
阻尼结构系统状态向量的齐次解是由下式给出
则它的位移和速度向量可分别写为
则其状态向量可改写为
于是，得状态模态向量与位移模态向量的关系式
用它的n 对复共轭状态模态向量组成的状态模态矩阵是
其中[Λc]是其特征值构成的对角阵，[Φc]是位移模态矩阵
根据状态模态向量的复向量性质，位移模态向量也是个复向量，称之为复模态。位移模态向量也是共轭成对出现，可用它的实部与虚部表示，也用它的幅值和相位表示。特征向量只是确定到常数倍，故它的幅值给出的是幅值比，它的相位给出的是相位差。它不同于无阻尼结构系统的特征向量是一组实向量，也就是说，固有模态向量的幅值只有正、负之别，而无相位差存在。这是由于无阻尼结构系统机械能守恒，在作模态振动时，与位移成正比的弹性恢复力（正赂）同与加速度成正比的惯性力（负向）相平衡的结果。阻尼结构系统由于阻尼的存在，它的机械能不再守恒，除了上述的弹性恢复力和惯性力之外，有与速度成正比的阻尼力作用。从相平面上看，加速度与位移是反相，速度与位移则有90°相位差，由于阻尼分布的任意性导致各点模态位移之间产生相位差。这是阻尼结构系统形成复模态向量的物理原因。但是比例阻尼结构系统，由于它的阻尼分布是与刚度和质量的分布成比例关系等原因，使各点模态位移之间无相位差，只有正、负之别，而退化为实模态向量。这种退化关系只有在比例阻尼结构系统时才存在。
阻尼结构系统的位移模态向量是复模态时，不存在正交性和解耦性，即刚度、惯性和阻尼都没有解耦性。在状态空间内，其状态模态向量才有正交性和解耦性，这由下两式给出。
它们在位移空间内用位移模态向量表示为
或
这是阻尼结构系统的复特征向量的正交解耦条件在位移空间内的表达式。
五、复模态空间内的阻尼结构系统动力学方程1. 复模态空间内的状态方程
阻尼结构系统的完整描述是在状态空间内，可在n对复共轭状态模态向量{ψi}，{ψi*}张成为复模态空间[ΨΨ*]内作振动分析。任意一个状态向量可在复模态空间内展开为
这是状态向量的展开定理。
阻尼结构系统控制方程包括状态方程和输出方程两部分。状态方程是由下式给出
出方程由下式给出
现把它们变换到复模态空间内，将任意一个状态向量可在复模态空间内展开方程代入
状态方程式，并前乘[ΨΨ*]得
利用
和
给出的正交解耦性条件，得出解耦后的阻尼结构系统的复模态方程是
以及它的复共轭方程。当没有外加激励{f}=0时，由它的特征方程可解出其复特征值是
解耦后的阻尼结构系统的复模态方程可简化为
根据所作用的外载荷{f(t)}，可解出复模态坐标qi，(i=1,2,…,2n)，再回代到
求出的结构系统的动响应，这就是复模态迭加法。
2. 复模态空间内的位移方程
根据输出方程
由
得位移向量在复模态空间内的展开式为
这是位移向量在复模态空间内的展开空理。模态位移空间可认为是由n对复共轭的位移模态向量所张成。物理位移空间内的结构系统动力学方程是
将上述方程直接变换到复模态空间内由于对质量、刚度和阻尼矩阵的正交性不成立而不具有解耦性质，不能起降价简化作用，无进一步分析的必要。无外加激励{f}=0作用的阻尼结构系统的一个解可用
形式的模态解给出
将它们代入方程
得
这方程在位移模态空间内也不具有正交解耦特性，不能给出简洁的解耦形式，但从形式上将上式前乘{ki}*}ᵀ（共轭转乘），得
设
其中mi，ci，ki都是实数，则上式简化为
上式中的各个量没有明显的物理意义，仅在形式上与单自由度阻尼系统的动力学方程及其特征值相同。它证实了阻尼结构系统在小阻尼情况下其特征值的复共轭性质，称之为复频率。但在物理位移空间的控制方程对其模态向量没有正交解耦性质。
3. 复模态向量与实模态向量
从上两小节的分析可知，结构系统的阻尼存在使其振动特性具有复杂性。但不论是怎样的阻尼结构系统，它的振动特性都是由它的特征方程所给出的特征解（模态参数）来描述的。结构系统的模态参数，包括特征值（频率）和特征向量（振型）及其规一化时所定义的模态量（模态质量等）是对阻尼结构系统振动特性的一种完整的描述。
无阻尼结构系统的模态参数是固有频率ωi，固有振型（固有模态向量）{Φi}及其模态质量Mi~。对于质量规一的固有模态向量，Mi~=1，其它情况则是
无阻尼结构系统的模态参数全部是实数，固有模态向量是个实向量，它所张成的固有模态空间是实向量空间，在分析上是很方便的。因此称之为固有模态理论。
阻尼结构系统的模态理论呈现出复杂情况。由于阻尼的存在，特征方程解出的特征值在小阻尼情况下是成对的共轭复根，称之为复频率。其实部给出阻尼的度量，表示衰减率。其虚部给出振荡频率，表示等时性。从物理意义上来讲，频率不存在复数概念，这仅是一种相似性的称呼。阻尼结构系统的振动模态，由于阻尼分布情况的不同出现有两种不同性质的振动形态。若阻尼矩阵与刚度矩阵和质量矩阵具有正比例或级数关系，简称为比例阻尼，它的振动模态与无阻尼的固有模态相一致。比例阻尼条件的存在，它沟通了阻尼结构系统与无阻它结构系统之间的内在联系。其中核心的一条是阻尼结构系统的特征向量就是固有模态向量，从而可在由固有模态向量张成的固有模态空间内来分析结构系统的动力宪学行为。比例阻尼存在的必要与充分条件是柯希阻尼模型所给出的。由于它的模态向量是实向量，故称之为实模态理论。
一般阻尼结构系统是指具有非比例阻尼特性的结构系统。由于阻尼分布的任意性，它的振动模态呈现为复共轭形式，各个自由度上的位移之间不仅幅值不同，而且其相位差也是任意的。在这种情况下，不仅是特征值是复共轭的，它的特征向量值以及它的模态量也都是复共轭的，即全部模态参数是复共轭的。故称之为复模态理论。
结构系统的动响应分析通常是转换到模态空间内进行的。从上面的分析给出了两种模态向量，固有模态向量与复模态向量。结构系统出现哪种模态向量取决于阻尼的因素，这就是说，模态参数是由刚度、质量和阻尼这三个因素所决定的。对于振动频率（特征值），刚度与质量的影响明显，而阻尼的影响较小。对于振动模态（特征向量），三者对之都有影响，阻尼任意分布的非比例阻尼情况给出复共轭模态向量，而阻尼分布与刚和质量分布具有一定关系的比例阻尼情况则退化为固有模态向量。这就是说，阻尼结构系统在一般情况下与无阻尼的固有模态之间无内在关系。只有在比例阻尼这样的特殊情况下，才与固有模态之间沟通，复模态向量退化为固有模态向量。现在讨论这种退化关系，阻尼结构系统的复模态向量记作{ϕci }，无阻尼结构系统的固有模态向量记作{ϕi }。它们二者具有不同的正交性。复模态向量的规一化正交条件是
这里是对规一的，αi=1。而固有模态向量规一化正交条件是
这里是对规一的，Mi~=1。当结构系统是比例阻尼情况时，{ϕci}={ϕi}对于i=j 的复模态向量的规一化条件改写为
由此推出比例阻尼结构系统的复模态量αi 是
为与固有模态向量的规一化统一，将复模态向量重新规一化，放弃对规一，而取对规一，则
由于复模态向量必是共轭成对出现，故它的退化关系式是
以上的分析给出了用复模态向量表示的比例阻尼结构系统的实模态向量。
但到目前为止，从一般阻尼结构系统的复模态参数中尚没有显式的公式可推导出无阻尼结构系统的固有模态参数。
来源：整理自百度文库《阻尼模态理论》
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