我所理解的流体力学 | 弧线球的原理
当球旋转着前进时，空气绕过它的流动不对称，产生侧向力，于是球走过一条曲线的路径。导读
有关足球的“香蕉球”和乒乓球的“弧圈球”等的解释是科普的热点，但多数并未详细分析流动。本文将从流动角度深入分析球附近的流动，纠正一些认识偏差，揭示横向力的产生机理。
马格努斯效应
当一个飞行的物体同时还在旋转时，只要物体的旋转轴与飞行方向不相同，空气就会对物体产生一个横向力，物体在这个横向力的作用下轨迹发生偏转走过一条曲线，这种现象称作马格努斯效应。一般认为是德国科学家马格努斯于1852年发现并解释的，不过早在1672年牛顿就在观看了一场网球比赛后描述并正确推断了这种现象的原因。
马格努斯效应包含了各种形状物体的旋转产生的效应，我们这里只讨论球体，且旋转轴与飞行方向垂直的情况。
常见的误解
各种球类运动中的弧线球原理都是相同的，由于足球运动的关注度高，所以网上对弧线球的解释多集中于足球的“香蕉球”。
对“香蕉球”的常见解释如下：
当旋转着的足球在空中飞行时，会带动其表面的空气薄层（即边界层）同时旋转，其一侧的空气薄层逆着来流转动，对来流形成阻碍，使来流减速；另一侧的空气薄层顺着气流转动，使来流加速。所以，球两侧的气流速度变得不同。根据伯努利原理可知，空气流速度大的一侧会形成一个低压区，空气流速度小的一侧会形成一个高压区。足球受到横向压差力的作用，使球偏离原直线运动方向。
这种解释流传非常广泛，但却是不正确的。
为什么？因为这个解释里首先说球两侧的空气速度不同是被旋转的球带动的效果，然后又用伯努利原理来说速度大的一侧压力低，速度小的一侧压力高，这是一种典型的对伯努利原理的误用。
旋转的球带动气流靠的是粘性力（或者说摩擦力），粘性力拖动气流加减速是不会产生压力变化的，必须是压差力产生的加减速才对应压力变化。换句话说，粘性力主导的运动是不能用伯努利定律的。而且旋转的球还对气流做轴功，更不能用伯努利定律了。
有人可能会说，球表面空气薄层（即边界层）内的运动是不能用伯努利定律，但边界层很薄，边界层之外就可以用了呀。那什么是边界层呢？受壁面粘性力影响的区域称为边界层，所谓“旋转的球拖动空气使其加速”指的只能是边界层之内，边界层之外的空气是不会被壁面拖动的，显然外部空气的加减速不是壁面拖动的效果。
因此，虽然紧挨球表面两侧的空气流速确实由于球的旋转而不同，但这种速度变化是粘性力拖动产生的，并不对应压力变化。产生压力变化的加减速必须是压差力产生的才行。
压力降低与速度增加是同时发生的，同时发生的事不是因果关系，而是有共同的原因。当然，为了好理解，我们可以从牛顿定律角度来说，力是运动状态变化的原因，那么，压力变化是原因，速度变化是结果。
从这个角度来理解伯努利定律很简单：只有压差力产生的加减速才对应压力变化，而摩擦力产生的加减速是不对应压力变化的。流体从高压区流向低压区，速度增加，这是压差力的效果，但前提是不能有压差力以外的力。当粘性力不可忽略时，流体微团加速了，未必都是压力降低产生的，也可以是粘性力拖动产生的。
好了，不唠叨了，这方面如果需要了解更多请参考本公众号之前发表的文章“伯努利定律的误区”。
弧线球的解释
以球心为参考系，气流吹过旋转的球时，会对球产生横向力。其原理和机翼升力的原理是相似的，只用伯努利定律并不能很好地解释，更重要的是科恩达效应。和机翼有所不同的是，分析机翼升力时可以不考虑粘性力，而分析旋转球的横向力时则必须考虑粘性力。所以这个问题比机翼的原理复杂一些，需要同时考虑粘性力、科恩达效应和伯努利定律。
上面的解释中，说旋转的球带动表面的空气旋转，使流过球两侧的空气速度不同，这个说法本身也不能算完全错误，只是这种两侧速度不同并不是直接由球表面拖动产生的。
参考下面的图，确实是球的旋转带动了表面的空气，使球上下两侧的流动不对称而产生的横向力，这种不对称集中体现在：
1. 旋转的球把更多前方流过来的空气导向上侧，所以前分叉点位于中心线下方。
2. 上侧的分离点由于壁面对气流的助推作用而延后，下侧的分离点由于壁面对气流的阻碍作用而提前。
和解释机翼升力原理类似，弧线球横向力的原理也可以从两种角度来解释。
一种解释是旋转的球两侧的压力分布不对称，一侧压力低，另一侧压力高，从而产生横向力。
另一种解释是旋转的球把流过它的气流导向一侧，根据牛顿定律，球就获得朝相反方向的作用力。
前面的解释迫不得已使用了边界层分离的概念，对于没有学过流体力学的人可能不好理解。不过从字面意思应该大概可以明白就是气流和壁面分离，之后不再沿壁面流动了的意思。
实际球类运动中是一定存在边界层分离的，不过即使没有边界层分离，旋转的球仍然会受到横向力，实际上多数可以找到的解释就是针对这种没有分离的流动解释的。这里把前面的图再放一次，可以看出，在下图中，球的旋转使气流的前分叉点和后交汇点都偏向左边。于是整个右侧的流线要弯曲得多，和机翼类似，右侧的气流压力低速度快。
总结
1. 弧线球所受到的横向力和机翼的升力原理类似，解释也类似。两者都不能从流速快推出压力低，而是应该从科恩达效应和离心力的角度得出一侧的压力低，而流速快可以看成是压力低的结果。
2. 气流前分叉点的偏移和两侧分离点的偏移是产生横向力的主要原因。
3. 产生两侧压差力的是边界层之外的不受粘性影响的气流，这部分气流其实并不“知道”球是否在旋转，它们感受到的只是物体的虚拟形状，这个虚拟形状类似于机翼，决定了横向力的产生。
后记：用理想无粘流动可以完美地解释弧线球的横向力，但要注意的是，这类无粘方法其实都暗含了粘性作用在里面。当你引入一个点涡时，点涡中心是数学上的奇点，在物理上则对应着一个粘性区（比如把台风看作一个点涡的话，台风眼就是这个粘性区），这个问题我们就不展开了。
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