机械振动力学笔记：多自由度振动系统
一般而言，工程实际中的振动系统都是连续实体，其质量与刚度连续分布，理论上具有无限多个自由度，严格来讲需要用连续模型才能加以描述，但是连续体的振动分析涉及偏微分方程理论，求解也十分困难，而且大多偏微分方程不存在解析解。同时，大量的复杂振动系统无法简化为单自由度系统，而是需要简化为多自由度系统才能反映实际问题的力学本质。由此，工程实践中的许多连续弹性体，通常是采用适当的方法将其简化为有限多个自由度的模型来分析。01、多自由度系统模型的建立
一个简单的方法是将连续系统分割为有限多个集中质量，它们之间通过弹性元件和阻尼元件相连接，从而建立起集中参数的多自由度“质-阻-弹”模型。这一模型称为集中参数系统 (lumped parametersystem) 或集中质量系统。每个集中质量的运动可用线性坐标来描述，描述模型中全部集中质量运动所需的最少独立坐标数目，称为系统的自由度数。这些独立坐标也称为广义坐标，广义坐标的数量等于系统的自由度数目。常把具有两个和两个以上自由度的系统称为多自由度系统，多自由度系统模型的分析仅涉及常微分方程组，其求解相对于连续模型要简单很多。因此，为了简化分析，经常将连续体简化为多自由度系统。需要指出的是，一个振动系统，如果其振动幅度没有限制，则振动方程中的广义坐标及其对时间的微商（广义速度、广义加速度）一般以非线性形式存在；但如果系统振动的幅度很小，以至于振动方程中只需保留广义坐标及其时间微商的一阶项就足够精确，则可以用线性微分方程描述该系统。
图1 简化的多自由度系统
图2 分离mi 与其作用力图
多自由系统是需要多个独立坐标来描述其运动的振动系统。多自由度振动系统与单自由度振动系统，既有联系又有区别。单自由度是振动系统的特例，其理论是分析多自由度振动的基础，单自由系统的基本概念和分析方法，会在多自由度系统中得到继续使用或推广；多自由度系统振动方程在形式上与单自由度的也一致，所不同的是将单自由度方程中的实系数变量变换为矩阵。由此，与单自由度相比，多自由度系统要复杂一些，特别是自由度数加大时，对系统的振动分析将变得非常繁杂。为便于多自由度系统的振动分析，需要应用线性代数和矩阵理论。
式中，M、C、K 分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。
多自由度系统中“质-阻-弹”元件的简化原则与单自由度相同，尽量将质量集中、变形小的部分简化为集中质量并略去其刚度，将变形大、质量小的部分简化为弹性元件并略去其质量。在实际简化中，遇到比较复杂的情况，可以根据工程经验进行简化处理。缺少工程经验时，应按照简化前后动能相等的原则来简化集中质量；按照势能相等的原则来简化集中刚度；在阻尼不是很大的情况下，可以利用能量等效原理来对非线性阻尼进行线性化处理。自由度数目的多少，取决于研究对象的具体情况和精度要求，一般来说，自由度越多分析精度越高，分析也越复杂烦琐，在满足精度的前提下，应尽量减少自由度的数目。
02、多自由度振动系统的分析
多自由度系统与单自由度系统相比，其分析不仅计算量大，分析方法也要有相应的改变。单自由度系统只有一个固有频率，而n 自由系统有n 个固有频率。当系统以任意一个固有频率做自由振动时，系统各点的稳态响应幅值构成一特定的、不随时间变化的比例关系，称为模态。模态分析是多自由度系统振动分析的基本手段，其思想是将相互耦合的多自由度运动方程变换为多个独立的自由度系统运动方程，然后应用单自由度系统的求解方法进行求解。模态分析首先识别系统自由振动的基本特征，然后应用这些特征对运动微分方程进行变换，得到一组独立的单自由运动方程。多自由度系统振动分析通常采用矩阵方法。系统的固有频率和模态分别对应矩阵的特征值和特征向量。
对于n 自由度振动系统，在无阻尼和外力作用下的自由振动方程一般形式为：
在系统自由振动中，假设所有的质量均作简谐运动，则方程解的形式为
式中，ωni、φi 分别为第i 阶振型的固有频率和相角；Xi 为第i 阶振型的诸位移的列阵；A(i) 为第i 阶振型中各点的位移最大值或振幅向量。
Xi 和A(i)可表示为
将下式代入n 自由度振动系统，在无阻尼和外力作用下的自由振动方程
得如下代数方程
令
称H (i) 为特征矩阵。
对于振动系统，振幅不全部为零，因而必有
上式称为系统的特征方程，其一般形式为
展开此行列式得最高阶为(ω2ni )n 的代数多项式。由此代数多项式可解出不相等的ω2n1, ω2n2, ···, ω2nn，共n 个根，称此根为特征根或特征值，开方后即得固有频率ωni 值。自由度数低的可用因式分解法求解，否则必须用数值法求解。
如果M 是正定的（即系统的动能除全部速度都为零外，总是大于零的），K 是正定的或半正定的，特征值ω2ni 全部是正实根，特殊情况下，其中有零根或重根。将这n 个固有频率由小到大按次序排列，分别称为一阶固有频率、二阶固有频率、···、n 阶固有频率，即
有的半正定系统可能不止一个零值固有频率，说明系统具有不止一个独立的刚体运动，未加任何约束的带有若干个集中质量的梁，计算平面弯曲振动时，就出现两个零值固有频率，即系统在平面内具有平移的刚体运动及转动的刚体运动。
03、特征值和特征向量
设A 是n 阶方阵，如果数λ 和n 维非零列向量x 使关系式Ax=λx 成立，那么数λ 称为矩阵A 特征值，非零向量x 称为A 的对应于特征值λ 的特征向量。式Ax=λx 也可写成 (A-λE )X=0。若λ 为实特征值时，矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转效果，那么这些向量就是矩阵的特征值，伸缩的比例就是特征值；如果伸缩的比例值为负值，原向量的方向改变为反向，原向量仍然为这个矩阵的特征向量。当λ 为复数时，则会使特征向量在复平面上进行旋转，但在实轴上仍然只是进行伸缩变换。特征向量是个线性不变量，在实特征值的作用下只改变长度，不改变方向，或者说是与自身共线的向量。机械振动和电振动有频谱，振动的某个频率具有某个幅度，那么矩阵也有矩阵的谱，矩阵的谱就是矩阵特征值的概念，是矩阵的固有特性，所有的特征值形成了矩阵的一个频谱，每个特征值是矩阵的一个“谐振频点”。特征值是几乎任何一个动力系统的最重要的特征。
04、固有频率与振型
当系统按其中某一固有频率作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动。系统作主振动时，任何瞬时各点位移之比具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型（模态）。主振型和固有频率一样，只决定于系统本身的物理性质，而与初始条件无关。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特性。系统对简谐激振的响应是系统固有频率与激振频率相同的简谐振动。振幅与系统固有频率和激振频率的比值有关。当激振频率接近于系统的任意固有频率时，就发生共振，共振时的振型就是与固有频率相对应的主振型。系统作与激振力同频率的简谐振动，其振幅不仅决定于激振力的幅值 ，还与系统的固有频率和激振频率有很大关系。正交性是模态的一个重要特性，振动分析的许多基本概念、方法及高效算法是以此为基础的。N 阶自由度系统有n 个固有频率及n 组主振型A(i)，可以出现n 个频率不同的共振现象。在少数的几个最低模式中，其中振幅一般比较大，而高阶频率所对应的模式中振幅都较小。二自由度系统在任意初始条件下的响应都是两个主振动的叠加，只有在特殊的初始条件下，系统才按某一个固有频率作主振动。在一般情况下，二自由度系统的自由振动是两个不同频率主振动的合成，合成的结果不一定是简谐振动。
频率分析就是计算这些共振频率及它们对应的振动模式，计算共振频率及它们对应的振动模式，就是频率分析的所有内容，基本频率即最低的共振频率。自然频率的值与结构体在特定模式下所需要的能量级别成正比，因此，在基本频率下结构体振动所需的能量相比其他所有更高的自然频率而言是最小的。
如果系统具有一定的阻尼且激振频率接近于系统的固有频率时，则阻尼起着非常显著的抑制共振振幅的作用。比例阻尼是指阻尼矩阵与质量矩阵M 或刚度矩阵K 成比例，或者正比于二者的线性组合。
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来源：产品设计研习社微信公众号（ID：gh_ecd074a00e00），作者：探路者510。
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