《今日声学》计算声学领域的方法与技术
纵观人类历史，人类和文化创造的声音不仅仅是简单的交流。例如，早期人类可能使用原始长笛演奏音乐（Atema，2014），并将声音视为城市设计的一部分（例如，Kolar，2018）。此外，玛雅人在墨西哥奇琴伊察遗址设计了使用声音进行礼拜的结构（Declercq等人，2004年）。具体来说，在埃尔卡斯蒂略金字塔的楼梯前拍手，通过楼梯上的一系列反射，产生了一种类似于备受尊崇的鸟类的声音。除了对发出声音的兴趣之外，声音和振动也已经通过经验方法或哲学论证进行了彻底的研究，早在毕达哥拉斯（公元前550年）时代，他将他在数学上的发现应用于音乐中的谐波比率。他发现可以使用弦长的小整数比率对弦乐器进行调音，这样它们就可以始终如一地产生分层的辅音音程。
研究我们的声学环境的兴趣和愿望一直持续到今天，但我们使用的方法发生了巨大变化，并且随着新技术的出现而不断变化。从17世纪Robert Boyle开始，实证研究表明，声音是概念化流体粒子的振动，将能量从一个地方传输到另一个地方。理论和实证研究是必不可少的，但更多时候需要额外的帮助来解决手头的问题。事实上，应用复杂的计算方法（本文的基础）为理解和分析声学现象提供了一个有价值的工具。
对计算声学的需求
对计算声学的需求在大多数现实世界的声学物理研究中表现出困难，通常需要求解声波方程。事实上，通过采用计算声学，在传统领域不包含的新研究领域有着进步的潜力。几十年来声学所有领域的巨大发展和进步已经证明了这一点，其中复杂性需要广泛使用数值方法、优化、计算建模和模拟。
就像计算物理学与数学和计算机科学之间的关系一样，声学、数学和计算机科学之间的关系定义了计算声学，如图1所示的韦恩（Venn-type）图所描述的那样。
图1：韦恩图显示了计算声学的概念关系，表明它如何将传统声学与数学和计算机科学联系起来
波动方程解释
波动方程可以在波中表达运动，它在物理学的各个领域都表现出来，包括声学、电磁学、量子力学和光学等等。该方程提供了声学中感兴趣的变量之间的数学关系，通常是声压或粒子速度与波速。该方程将时间和空间变化与这些变量联系起来，包括对波的波长和频率的依赖性。因此，该方程是压力或粒子速度的二阶偏微分方程，并且是三维的。压力或粒子速度取决于三个空间方向和时间。
在物理的所有领域中，涉及波动方程的问题的解决方案都需要指定取决于问题的几何形状的附加边界条件。只有在具有简单条件和几何形状的特定理想情况下，解析解才是可能的。然而，波动方程是研究所涉及的物理学的强大而有用的工具。
对于大多数感兴趣的实际问题，所涉及的几何形状过于复杂，无法通过计算方法以外的任何其他方式来解决。例如，如果想要模拟声音通过耳道的传播(Puria，2020)，几何结构并不简单，定义真实的边界条件会使问题变得过于复杂，无法通过数值解法以外的任何其他方式求解波动方程。
声波在各种环境中的传播已经得到了很好的理解和记录，但是任何真实的环境都过于复杂，声场的预测变得不可能用解析的方法来解决。例如，人们可能希望确定海洋中大面积水下的声压场(例如，duda等，2019) ，那里的环境、边界条件和流体特性的空间分布是复杂的。要求解如此复杂的波动方程，问题可简化为数值解。
本文讨论了一系列用于在各种情况下求解波动方程的技术。其中一些技术是数值方法，用于直接求解方程而无需近似，而其他技术则需要对结果进行逐次逼近。
计算方法的出现
自20世纪30年代发明数字计算机以来，数字计算机一直被用于解决物理学中的难题。早期的应用是在核物理学领域，为研制原子弹进行弹道学和粒子演化模拟。
蒙特卡罗模拟
作为原子弹工作的一部分，乔恩·冯·诺依曼（Jon von Neumann）在洛斯阿拉莫斯（NM）国家实验室开发了几种技术和算法，从而产生了我们现在所知的蒙特卡洛（Monte Carlo）模拟。正如人们所预料的那样，蒙特卡洛应用程序涉及任何可以建模为随机或自发的现象，例如在赌场玩机会游戏。以这种方式建模的一些现象包括放射性衰变和热运动的随机性（Landau和Price，1997年）。此外，蒙特卡罗模拟可用于模拟大气中的声音传播（Burkatovskaya等人，2016年），其中可以考虑多重散射和大气的湍流性质（Blanc-Benon等人，2002年）。
计算物理学的持续工作导致发现非线性动力学中的混沌行为，其中确定性机械系统表现出看似随机的运动状态。在计算机技术使模拟相互作用所需的复杂计算成为可能之前，力学的理论基础已经存在了近半个世纪。
计算机在声学中的早期使用
Schroeder (1961)在美国声学学会第62次会议上发表的关于室内声学新用途的演讲中提早提到了在声学中使用计算机。在他的摘要中，Schroeder谈到了使用数字计算机来模拟房间内复杂的声音传输，以及使用蒙特卡罗技术模拟房间内的空间和频率响应。Schroeder的洞察力彻底改变了建筑声学。计算方法已被证明在预测室内空间的声学性能方面非常强大，并增强了专家设计空间声学的能力，例如音乐厅（Sviolja和Xiang，2020）。
几十年来计算机技术和计算性能的改进允许更多地使用这种数值方法来解决声波传播、散射、辐射和其他声学相关现象。这反过来又增强了发现和解决问题的能力。对不同现象的模拟提供了研究以前由于声学的复杂性质而无法接近的相互作用的方法。
计算声学是数学建模和数值求解算法的结合，最近已成为声学的一个子学科。使用近似技术通过基于计算机的模型和模拟计算声场，可以解决以前无法解决的问题。
声学日益增长的计算性质，特别是在所有传统领域，提供了跨学科的机会。本文的目的是概述在几个传统领域中计算声学中使用的各种技术。我更熟悉水下声学和物理声学中的应用，但在这些领域中使用的许多相同技术也可以应用于其他领域（参见表1，了解《今日声学》中讨论类似技术使用的文章）。
表1：发表在《今日声学》上的一些相关文章
此外，在人工智能研究和数据科学领域中使用的机器学习(ML)应用也被用于推进声学海洋学、工程声学和信号处理等领域的研究。这绝不是一份详尽的清单，但它使人们熟悉了计算声学的领域和应用以及其中发现的方法。
现代计算方法
计算声学的数值方法侧重于将微积分中的连续方程和微分方程转化为线性代数方程，这些方程可以在数字计算机上求解。在音乐厅的几何形状复杂且无法使用解析解的情况下，计算声学将使声学工程师能够计算波动方程的数值解，以帮助工程设计过程，正如Savioja和Xiang最近所讨论的那样（2020）。
两种比较流行的方法是有限差分法(FDM)和有限元法(FEM)。FDM是一类数值技术，与称为Galerkin方法(Jensen等，2011；Wang等，2019) 的一般数值方法相关，将导数视为代数差异和所讨论的连续函数，例如作为声场，在空间的各个点计算（Botteldooren，1994）。
例如，图2显示了如何使用网格划分空间，其中声场计算为空间中的单个单元。每个点都是通过计算算法通过迭代计算出来的。计算通常很简单，可以用铅笔和纸或基本的计算器进行。但是，如果该过程需要应用于许多点，则可能需要数千到数百万次计算，从而需要一台数字计算机。
图2：有限差分法(FDM)，一种用于计算声场的计算离散网格概念。空间被分成一个称为单元的网格，其中声音在每个单元中被认为是恒定的，并在所有空间中求和。
与FDM相比，FEM是另一种用于计算声场的数值技术，基于将空间或结构划分为单个单元，每个单元都假定为常数。空间/结构被分解成一个网格，它看起来像一个应用于各种形状的结构的线栅，通常是三角形。所选网格形状的点称为节点，这些点定义了网格的形状。该方法的目标是总结每个单元对声场的贡献。图3显示了使用三角形网格而不是图2中划分结构的方形框的简单网格划分结构的概念化。虽然方法看起来很复杂，但主要思想很简单。
图3：有限元法(FEM)，一种用于计算声场的计算单元网格概念。每个三角分割都是结构的一部分，假设三角分割被认为是恒定的，可以在其中计算声场。
对于现实生活中的问题，FDM和FEM并不是排他性的，在现代高性能计算平台上往往同时应用。FDM的应用很简单，但需要一些初步的条件知识。FEM更具适应性和准确性，但通常需要更多输入数据才能应用。
直接数值模拟
流体中复杂声学问题的完整数学处理始于一组称为可压缩Navier-Stokes方程的偏微分方程。这些方程描述了流体的流动和空气动力学/流体动力学产生的声场。这些方程是流体中动量和质量守恒的陈述，描述了所有的动力学。
由于流体动力学和声学的这种耦合，流体变量和声学变量都可以通过将方程重写为可以通过计算机程序或软件包（例如COMSOL或ANSYS）完全模拟的形式直接求解。这些类型的软件包擅长执行涉及多种物理的系统模拟，例如涉及声音通过活组织传输的问题，其中可能存在加热、密度变化和运动中的流体。由于流体运动导致声学变量和流动变量之间的尺度长度发生很大变化，因此通常需要非常精确的数值分辨率。直接数值模拟的使用通常在计算上具有挑战性，并且在不使用高性能计算的情况下不适合大多数应用。
尽管直接数值模拟可能是一个限制，但它通常是解决各种问题的首选方法。一种这样的应用是利用从材料制成的球体测量的反向散射声学数据计算感兴趣材料中弹性波的压缩和剪切速度。压缩和剪切速度以复杂的方式与散射声相关，但可以针对球形物体确定。我不会进入计算背后的复杂数学；然而，该方法是计算理论后向散射函数（Faran，1951；Chu和Eastland，2014）。该函数具有不连续性，称为零点，与材料中声音的压缩和剪切速度有关。零位位置和间隔由这些速度决定。
从速度的初始猜测开始，确定反向散射形式函数。然后通过关联空位置和分离中的误差，将来自目标的反向散射数据与表单函数匹配。基于使用任何非线性最小二乘法（例如，Levenberg-Marquardt）选择数据中的任意零点，选择优化过程。目标是通过迭代更新表单函数来最小化拟合数据的误差。速度的初始猜测被更新并用于重新计算形式函数，直到达到成本函数中所需的误差水平。可以想象，这是一种蛮力方法，计算要求很高。但是，它是有效的。数据输出示例如图4所示。
图4：黑色虚线曲线，由形式函数确定的理论目标强度；蓝色实心曲线，由后向散射数据确定的64毫米铜球的目标强度，比较理论和实验；红色圆圈，三个选择的零点与数据匹配，确定材料中的压缩和剪切声速至少在6%的精度内。作者在西北渔业科学中心（华盛顿州西雅图）进行了生物量估计声学研究的声纳校准工作。
模拟结果证明，预测值准确到剪切速度的6%以内，压缩速度的预测值小于5%，只需要22次迭代。 在个人计算机上使用MATLAB的计算时间将近10分钟。如果需要更高的精度，可以调整最小误差以获得更多迭代，但需要更长的时间。
通常用于确定计算声学问题中声压的各种数值方法中的第一种是FDM。该方法采用描述现象的连续微分方程并将其分解为有限代数方程组。为简洁起见，本文省略了详细信息；然而，这种方法的有用性是不可否认的。该方法通过将空间分解为点网格，并根据空间中最近的网格点计算声场的微小变化。解决方案是通过在空间和时间上使用小步骤进行数值求解来找到的。该技术用于多个领域，适用于波传播和散射问题。
通过举例说明（参考Bunting等人，2020年），波动方程和离散化的应用展示了计算声学的强大功能。假设压力的谐波时间依赖性并应用波动方程，可以得到亥姆霍兹（Helmholtz）方程。亥姆霍兹方程描述了物理学中的稳态波传播，并与声波通过流体中的粒子速度或压力传播有关。
有多种方法利用声波方程的已知结果来计算声源的声场。波传播的一般解决方案可以写成对所有现有源的积分，它们被概括为积分方法。声源的来源必须通过其他方法（例如，机械结构的FEM模拟）先验确定。相对于信号源的时间对所有源进行积分。声波稍后到达给定的接收位置。所有积分方法的共同点是，不能通过利用波动方程的理论解来证明声源和接收器位置之间的声速变化是合理的。
积分方法的一个示例应用是从被视为点源的六边形源阵列中计算声场。图5a显示了排列为一组六边形的31个源阵列的示例。这些位置是通过计算确定的，每个节点都被视为声点源。该段对所有源求和，并在给定范围内计算级别。这可以随着时间的推移而完成，以创建声场影像，从而深入了解声波的传播方式。假设模拟在水下，源频率为10 kHz。一个例子可能是一个源数组，但使用积分方法很容易模拟这个问题。图5a中使用的数组的输出分别为图5b中的彩色图。
图5：a：排列成若干六边形分布的声点源阵列，其中cross-range为横向左/右维度，Elevation为上/下垂直维度，作为该方法的演示。b：在距离以10 kHz一致驱动的31个点源的源阵列10 m处测量的模拟声压级的声颜色图。相对于1μPa声压，黄色比深蓝色更响亮，以分贝为单位。
基尔霍夫积分（Kirchhoff Integral）
Kirchhoff和Helmholtz能够证明，从有限区域的局部源辐射的声音可以通过用任意设想的表面封闭该源区域来描述。使用亥姆霍兹方程计算所选表面内部或外部的声场。解决方案可以通过一组与可以使用的问题的几何相关的“基”函数的总和来确定。问题的难点在于确定可以工作的功能，由于超出了本文的范围，此处不再赘述。表面上的计算场直接来自波动方程。
该方案的一种变体允许使用法向粒子速度计算任意表面上的压力，这是声学传输中涉及的机制。垂直于表面的粒子速度可以通过运动结构的有限元模拟给出。然而，为了避免直接在表面上使用声压而对方法进行修改会导致障碍，封闭体积在其共振频率下被驱动。这是该技术实施中的一个主要问题。为了绕过这个限制，首先确定物体表面的声压，然后在其表面添加假想源以抵消物体表面的法向粒子速度。
使用基尔霍夫积分的一个例子是将物理域划分为更小更简单的部分以解决更复杂的问题，这引入了FEM的应用（Everstine和Henderson，1990）。这是积分方法的另一个例子，但它通过表面上的直接积分来解决该领域。目标是将计算区域划分为不同的区域，以便可以使用不同的方程组和数值技术来求解中心声学方程。
例如，将理想化的亥姆霍兹谐振器（如小提琴或吉他）模拟为花瓶形状并求解具有边界条件的波动方程变得困难，因为边界形状奇特。因此，为了解决这个问题，将边界分成更小的部分，并为边界的每个单独部分计算声场。图6显示了显示边界外观的概念图。
图6：花瓶形式的亥姆霍兹谐振器可能的空间划分，称为离散化。每个矩形都被视为一个单独的点，其中声场被认为是恒定的。
然后，该方法将采用将花瓶分解为物理单元，如图3所示，其中单元的所有角都被分解为节点。该方法只是对空间中每个节点的每个单独元素的声场求和，假设为每个单元给出了一些常数系数，从边界和场方程近似。每个单元将被给出为某个形状函数，在图3中是一个三角形。总声场被确定为每个单独贡献的总和，例如p(x,y,z)≈=1，其中x 、y和z是强制性空间变量。
机器学习和其他贡献
随着计算声学的应用，在不同的研究领域做出了一些重大贡献。其中之一是将声学模拟方法纳入虚拟现实系统（Vorlander，2013，2020）。由于技术的进步，这些类型的系统可以具有实时性能，并且在娱乐行业中变得至关重要。
此外，虚拟现实和增强现实已被用于培训和作为诊断工具。过去，由于生成的大量数据，过去常常会出现延迟或模拟速度变慢的情况。然而，鉴于计算机技术的进步，这不再是一个重大问题。因此，室内/室外环境的声音合成和制作可以通过数据融合与3D立体显示系统相结合（例如，Vorlander，2020）。研究和设计应用为视频游戏和类似系统带来了改进的现实。通过添加准确合成的声音并允许听者能够不受限制地移动（例如，转动头部）来感知更自然的情况，可以增强用户体验。
此外，改进的合成算法（例如，Gao等，2020）可用于为心理声学测试提供更真实的条件。基于确定性-随机信号分解的声音合成算法已被应用于合成内燃机噪声的随机或随机分量的音调和时间尺度修改（Jagla等人，2012年）。该方法使用语音合成中使用的音调同步重叠和相加算法，该算法利用记录的引擎噪声数据的使用以及该方法不需要引擎频率的特定知识这一事实。刚才提到的用于语音合成、噪声分析和引擎噪声合成的基于数据的方法与机器学习中使用的方法相似。在当今数据驱动的世界中，机器学习的应用似乎没有限制。
机器学习方法基于统计数据，并且非常擅长检测大型数据集中的模式。声学中的应用是研究机器学习的沃土，例如语音识别、声源识别和生物声学（例如，Bianco等人，2019年）。借助Alexa或Google Home等技术，需要进行语音识别研究，以使该技术能够与具有不同口音或发音或说不同语言的人一起工作。算法必须利用大量录制的语音数据集来教计算机系统根据输入“学习”。模型是由发音某些用于搜索的常用词的声音开发的。变量在统计上与模型进行比较，模型可以根据额外的数据输入进行改进。使用它的系统中的计算机算法本质上是“学习”并将该知识合并到其数据集中。尽管对机器学习和技术的大部分研究都是在计算机科学领域完成的，但这些方法在声学中的应用推动了一些最近的进展。机器学习的一种主要方法称为深度学习，它基于通过多层工作的人工神经网络，训练系统完成从合成音乐到能够比人耳更好地进行识别的所有工作（Hawley等人，2020年）。
总结和结论
这里概述的大量方法和应用并不是对计算声学的详尽描述。由于我的知识和篇幅和时间的限制，只能对这个领域做一个简单的介绍。但是，希望我能够证明计算声学领域和各种应用领域的需求。计算方法的使用推动了声学各个领域的发现和理解，包括声音合成、语音识别、声传播建模和声源识别。通过模拟结构与不同运动部件和所涉及的流体的机械相互作用，已经使用了几种技术来帮助设计新的汽车技术。
其中一些方法不仅用于工程声学，还用于音乐厅和教室的空间设计。这种类型的建模改进了各种机械系统中的噪声抑制。计算技术被用于信号处理中的建模和仿真，以利用机器学习方法研究声源识别和分类。这些方法正被应用于动物生物声学领域，以帮助进行种群监测的物种识别，避免与动物的直接相互作用。计算声学的方法和应用会在未来几年内增长，并已成为一个富有成果和回报的研究领域。
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原文来源及作者
Spring 2021 • Acoustics Today，Computational Methods and Techniques Across Acoustics。原文作者Grant C. Eastland，他于2012年在Philip L. Marston的指导下获得华盛顿州立大学物理学博士学位，研究声学成像中的散射边界效应。2012年至2015年，他在西雅图的NOAA西北渔业科学中心从事博士后研究，研究声学目标校准技术。目前，他是华盛顿州Keyport的海军水下作战中心部门的一名物理学家，从事测试和评估工作。他的主要研究领域是海洋声学传播、散射和声学成像。他的研究可以被认为是现象学的，包括理论、计算声学建模和实证研究。
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