周培源先生的湍流理论研究
今年正值周培源先生（1902年8月28日~1993年11月24日）诞辰一百二十周年，谨以此文向尊敬的周培源先生致以最深切的怀念。力学家、应用数学家、天体物理学家，美国国家科学院院士、美国国家艺术和科学院院士、中国科学院外籍院士林家翘（1916年7月7日~2013年1月13日）在1994年为周培源先生所作的追忆文章中这样写道：“周培源在湍流理论和相对论方面的工作赢得了国际认可。1945年的一篇关于湍流理论的论文为随后数十年的理论发展提供了框架。……周培源的方法根植于Ludwig Prandtl、Geoffrey Taylor和Theodorevon Karman的经典著作，处理可以量化测量的统计平均值。他和他的学生开发了越来越好的逐次逼近方法——特别是他在20世纪80年代末提出的逐级迭代方法——以获得与实验数据进行比较的定量结果。这项工作激发了许多关于湍流和混沌的新研究，其中一些至今仍在继续。”
图1 周培源与林家翘（左）合影。一位是85岁的老师，一位是71岁的学生，都是国际知名学者（中国科学技术协会. 周培源. 北京: 中国科学技术出版社, 2002）
1995年，流体力学年鉴（Annual Reviewof Fluid Mechanics）杂志刊登了周培源先生生前撰写的题为“中国湍流研究五十年”（50 Years of Turbulence Research in China）的文章。美国流体动力学家、美国国家工程院院士、康奈尔大学教授John Leask Lumley（1930年11月4日~2015年5月30日）为这篇文章作序。Lumley教授时任Annual Review of Fluid Mechanics杂志主编，在文章的序言中介绍了杂志向周培源邀约稿件的初衷，并回忆了在北京大学参加中国物理学会和中国力学学会为庆祝周培源先生90寿辰举办的国际流体力学和理论物理科学讨论会的场景（1992年6月1日~4日）。
图2 周培源先生生前撰写的题为50 Years of Turbulence Researchin China的文章首页，后来发表在Annual Review of Fluid Mechanics杂志（Chou PY, Chou RL. 50 years ofturbulence research in China. Annual Review of Fluid Mechanics, 1995,27(1): 1-16）
图3 中国物理学会和中国力学学会为庆祝周培源先生90寿辰举办的国际会议（力学与实践, 编辑部. 国际流体力学和理论物理科学讨论会——祝贺周培源教授寿辰. 力学与实践, 1991, 13(4): 76-76）
Lumley教授在这篇文章的序言中，从一位外国友人和湍流研究者的角度对周培源湍流研究工作做了简短的回顾并给出了极高的评价。作为中国著名理论物理学家、流体力学家，周培源先生在攻读博士学位期间从事广义相对论相关研究，是第一位在美国加利福尼亚理工学院获得博士学位的中国人（1928年），并跟随量子力学创始人海森堡教授（WernerKarl Heisenberg，1932年诺贝尔物理学奖获得者）在德国莱比锡大学进行博士后研究，随后应泡利教授（Wolfgang Ernst Pauli，1945年诺贝尔物理学奖获得者）邀请，前往瑞士苏黎世联邦理工学院进行量子力学相关研究。1936年至1937年，周培源前往美国普林斯顿高等研究院（Institute for Advanced Study），参加了爱因斯坦组织的相对论研讨班。周培源先生在20世纪30年代以前的研究方向是“广义相对论”，抗日战争开始以后，周培源认为相对论不能直接为抗战服务，作为一名科学家必须以科学救国，毅然转向了应用价值较大的湍流理论研究。在西南联大时期，完成了第一篇湍流研究论文，以On an extension of Reynolds’ method of finding apparentstress and the nature of turbulence为题于1940年在ChineseJournal of Physics杂志上发表，对后来世界范围内的湍流研究产生了重大影响。正如Lumley教授在序言中指出，“在湍流领域，周培源可以被称之为计算机模拟之父（the father of computational modeling）。在1940年发表于ChineseJournal of Physics杂志的开创性文章中，周培源引入了湍流脉动速度二阶关联函数与三阶关联函数方程，为了使得方程封闭，对三阶关联函数方程中的四阶关联函数基于二阶函数建立了相互联系的模型。周培源使用了一个拟涡能的方程为湍流场提供了一个时间尺度。可惜周培源的研究成果出现于计算机普及之前，基于人工计算的效率具有很大的局限性。但毫无疑问的是，当今全世界大量忙于发展湍流模型进行CFD（computational fluiddynamics）计算的学者们，都可以追溯到周培源1940年的这项工作。”序言最后写到，“在这个时代至少有四位流体力学的巨人，分别来自四个国家。他们以自己的方式在国内外都享有崇高的声誉，这不仅是因为他们在流体力学领域的建树，也是由于他们卓越的领导能力和对于知识的传承。在他们各自的国家里，大量优秀的流体力学工作者都可以追根溯源到这些伟大的鼻祖。这样的人，在我心中有美国的冯·卡门（von Kármán），苏联的柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov），英国的泰勒 (G. I. Taylor) 和中国的周培源（Pei-Yuan Chou）。”
图4 《周培源》画册中关于周培源转为湍流研究的描述（中国科学技术协会. 周培源. 北京: 中国科学技术出版社, 2002）
图5Lumley教授在文章序言中对同时代4位来自不同国家的流体力学巨人的描述（Chou PY, Chou RL. 50 years of turbulenceresearch in China. Annual Review of Fluid Mechanics, 1995, 27(1): 1-16）
受AnnualReview of Fluid Mechanics杂志主编Lumley教授的邀约，这篇题为50 years ofturbulence research in China的文章，主要是对周培源先生个人湍流研究工作的回顾。另一方面，1991年10月，中国力学学会第三届全国湍流与流动稳定性学术会议在天津大学召开，周培源先生作了75分钟题为《非压缩性流体的湍流理论》的学术报告，而这也成为了他生前所作的最后一次学术报告。天津大学王振东教授曾是周培源先生的学生，为这次报告制作了录音稿，因此，周培源先生的报告留存了下来。周培源先生从事湍流研究五十余年，在这次学术报告中，也回顾了个人的湍流研究工作，并将他自身的研究工作大致总结分为四个阶段。
第一阶段是上世纪40年代。在周培源先生指导下，王竹溪先生于1934年发表了国内最早的湍流论文，而周培源本人的湍流研究工作是1938年在昆明西南联大正式展开的，当时跟随他一起作湍流研究的学生有林家翘先生和郭永怀先生。对于非压缩性流体的湍流问题，最主要的理论根据就是Navier-Stokes方程（N-S方程），在20世纪初，英国学者雷诺（Osborn Reynolds）提出把速度分解成平均速度和脉动速度，把压强分解成平均压强和脉动压强，按照这个思路代入N-S方程后，得到了平均运动方程和脉动运动方程，以及雷诺应力方程。当时学术界的主要思想是使用平均运动方程求解，并考虑将雷诺应力与平均速度联系起来。而周培源在1940年发表在Chinese Journal ofPhysics杂志上的第一篇湍流论文On anextension of Reynolds’ method of finding apparent stress and the nature ofturbulence中首次提出研究湍流必须研究脉动速度场，并给出了二阶和三阶速度关联方程，进一步将四阶关联函数变成两个二阶关联函数乘积求和的形式，这一理论的提出，使得本来不封闭的脉动运动方程可以求解，从而奠定了湍流模式理论的基础。此外，1943年周培源在加州理工学院做访问教授，于1945年在Quarterly of Applied Mathematics杂志上发表论文On velocity correlations and the solutions ofthe equations of turbulent fluctuation ，详细地分析了湍流脉动方程的求解，提出同时求解平均运动方程和湍流脉动方程，特别是文中有关脉动压力所满足泊松方程的求解，是以后湍流模式理论有关压力-速度梯度关联的模化的基础。
第二阶段是上一世纪50年代到60年代，周培源先生率领他的一批学生（包括蔡树棠先生、是长春先生和陈定亚先生）继续从事湍流统计理论的研究工作。他和蔡树棠从五十年代初就开始了“先求解后平均”的湍流研究新途径，避免了传统湍流理论中N-S方程不封闭的弱点。在1956年，周培源与蔡树棠从粘性流体的N-S方程出发，找到了均匀各向同性湍流在耗散后期的轴对称涡旋解，利用轴对称涡旋模型作为湍流基元的物理图像来说明均匀各向同性湍流运动，并根据对均匀各向同性湍流运动的研究，分别求得在湍流耗散后期和初期的二元速度的关联函数、三元速度关联函数，提出了先求解后平均的旋涡结构湍流统计理论。后来黄永念先生在1965年用周培源先生和蔡树棠先生提出的轴对称二阶球涡计算了两个不同点之间的三元速度关联，而这一理论计算的结果也在十年后得到了实验的证实。
第三阶段是上一世纪的70年代。由于均匀各向同性湍流在其衰变初期和末期的两个相似条件是不同的，所以应该有一个单一的条件来包含它们。周培源和黄永念提出了均匀各向同性湍流的准相似性假设，将耗散初期和后期的相似条件统一为一个确定解的物理条件，利用这种新引入的准相似条件，他们将非线性速度波动方程求解为均匀各向同性湍流的一级近似，并得到了统一湍流衰减的初始到末期的解。此后周培源又与北京大学魏中磊、诸乾康和钮珍南等同志通过实验证明了准相似假设，对于双速度关联和三重速度关联，以及从衰变初期到衰变末期的能谱函数，计算结果与实验结果符合得很好。这些结果发表在1980年国际理论和应用力学大会上，以及第一届亚洲流体力学大会上，并于1982年获得国家自然科学二等奖。
第四阶段是上一世纪的80年代到90年代初，周培源先生进一步发展了1945年在论文On velocity correlations and thesolutions of the equations of turbulent fluctuation中提出的逐次逼近法，同时在上一阶段的研究背景下，将均匀各向同性湍流的结果推广到具有剪切应力的一般湍流运动中去，如尾流场、槽道流场，提出了广义准相似性假设（这一假设实际上包括了普朗特的动量转移理论、泰勒的涡量输运理论，冯·卡门的相似性理论），并给出了处理这种流动的奇阶截断法（在各种实验的基础上，发现奇数阶的速度关联通常比偶数阶的速度关联小得多。在近似过程中，可以截断奇数阶的速度关联，从而终止速度关联的动力学方程）。历经半个世纪的不懈努力，最终克服了同时求解平均运动方程和湍流脉动方程的种种困难，周培源先生的湍流模式理论体系已相当完整。
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