干摩擦自激振动：优美音乐和恼人噪音的制造者
在前文《 荡秋千与自激振动》里已叙述了自激振动的特点和物理过程。本文讨论一类特殊的自激振动，即干摩擦激起的自激振动。这种自激振动现象在生活中极为常见。提琴弓子摩擦琴弦发出的悦耳音乐，火车刹车时产生的刺耳噪音都来自干摩擦自振。为便于解释干摩擦自激振动，先对前文中提到的相平面和相轨迹做些补充说明。单自由度系统的动力学方程普遍形式为
用新的变量y 表示速度，转换成状态变量 (x, y) 的一阶微分方程组：
将二式相除消去时间微分dt ，得到仅含变量x 和y 的一阶微分方程：
此方程确定相平面 (x, y) 上的向量场，方程的积分即相轨迹。令上式中dy/dx 等于常数C，所对应的曲线族上各点均有相同的斜率C，称为相轨迹的等倾线族。以无阻尼线性振动为例，令f (x, y)=αx，其等倾线为从原点出发的射线族：
沿y 轴的等倾线上各点的斜率为零，沿x 轴的等倾线上各点的斜率为ꝏ。从等倾线的分布可看出相轨迹是以原点为中心的椭圆族（图1）。利用等倾线确定相轨迹的方法称为列纳 (Lienard,A.) 作图法。
图1 线性保守系统的等倾线族
若系统存在粘性阻尼，令f (x, y)=αx+cy，则等倾线族也是过原点的射线族：
但此式与上式 比较，零斜率等倾线从y 轴移至第二、四象限，y 轴上各点的斜率为负值-c。相轨迹是朝原点趋近的螺旋线，振幅不断减小（图2a）。若阻尼较强，则螺旋线转化为弧线直接趋近原点（图2b）。
图2 阻尼系统的等倾线族
若阻尼系数c 为负值，则系统的总机械能不仅没有耗散，而且不断从外界获取能量。这种特殊情况称为负阻尼。则等倾线族中的零斜率等倾线移到第一、三象限，y 轴上各点的斜率变为正值。相轨迹沿螺旋线（图3a）或弧线（图3b）向外扩展，振幅不断增大。
图3 负阻尼系统的等倾线族
相平面原点O 处的速度和加速度均为零，相当于系统的平衡状态。在仅含变量x 和y 的一阶微分方程中，原点O 处的分子和分母同时为零，则dy/dx 为不定值。因此O 点也是微分方程的奇点 (singular point)。图1类型的奇点称为中心 (center)，图2a和图3a类型的奇点称为焦点 (focus)，图2b和图3b类型的奇点称为结点 (node)。根据相点向奇点趋近还是远离，区分为稳定或不稳定的焦点或结点。
回到对干摩擦问题的讨论。干摩擦是指没有液体润滑情况下的滑动摩擦。1781年法国物理学家库伦 (Coulomb,C. A.) 从实验结果总结出一条著名的定律。可叙述为：物体之间保持静止接触的最大静摩擦力Fmax 与相互作用的正压力FN 成正比，Fmax=μFN。比例系数μ 称为静摩擦因数，取决于物体接触的表面状况。物体之间有相对滑动时，所产生的动摩擦力F 也能用库仑定律描述，仅比例系数改为动摩擦因数，与滑动速度v 无关。但库仑定律只是对滑动摩擦的近似描述。更精确的实验研究表明，摩擦力与滑动速度v 并非无关。当静摩擦转化为动摩擦时，摩擦力突然下降，然后随相对速度的增加而缓慢地上升。可用非线性函数φ(v) 表示为F=-φ(v)，如图4所示。
图4 干摩擦与相对速度关系曲线
将小提琴的琴弦简化成一个质量－弹簧振子（图5）。当涂抹了松香的琴弓在琴弦上以v0 速度匀速滑动时，即产生对琴弦作用的干摩擦力。为使讨论更具普遍性，将琴弓以匀速移动的平台代替，讨论质量－弹簧振子相对平台的运动 (图6)。
图5 琴弦与琴弓组成的振动系统
图6 干摩擦自激振动的简化模型
不失一般性，令滑块质量和弹簧刚度均等于1，弹簧的伸长为ξ，平台速度为v0，则滑块与平台之间的相对速度v 为
受摩擦力F=-φ(v) 和弹簧恢复力作用的滑块的动力学方程为
令上式中的导数项等于零，以确定滑块的平衡位置ξ0
将平衡位置ξ0 作为新的坐标原点，引入新的变量x
则
化作
改以y 表示速度，其中
图7 ψ(y) 的函数曲线
图7为ψ(y) 的函数曲线。将
转换为
形式的一阶微分方程：
此方程的零斜率等倾线为x=-ψ(y)，在图8中以虚线表示。
图8 干摩擦自振系统的极限环形成
参照前面叙述的零斜率等倾线与阻尼特性的关系，在y=0附近，零斜率等倾线在第一、三象限，阻尼特性具有负阻尼性质。y 较大时零斜率等倾线移至第二、四象限，转化为正阻尼。从而证明，小幅度运动时振幅不断增大，大幅度运动时幅度减小，中间必有稳定的极限环存在。
对相轨迹的分析说明了干摩擦引起自激振动的可能性。以下具体分析自激振动的产生过程。起先平台借助静摩擦力咬住滑块，带动滑块从P1 开始，以速度v0 向右匀速运动。随着弹簧变形的增大，弹性恢复力不断增长。当相点到达P2 点时，弹性恢复力增大到足以克服静摩擦力，滑块即被迫脱离平台向左滑动，起先在弹簧恢复力作用下加速，超过平衡位置后开始减速，直到相对速度减到等于零时，平台再次咬住滑块向右运动。上述黏着-滑动-再黏着的过程重复发生。咬住滑块时平台作正功，释放后平台作负功，当能量的输入和输出达到平衡时，滑块便能维持稳定的自激振动。图8表示此过程的相轨迹走向，所形成的封闭相轨迹就是一个极限环。
对以上简单模型的分析可以解释小提琴发出悦耳音乐，或独轮车车轴发出噪音等各种现象的产生原因。它们都属于干摩擦自激振动。在工程技术中，干摩擦自激振动的典型例子是车刀在切削时与工件摩擦产生的振动。这种振动会严重影响工件表面的光洁度。干摩擦自激振动还发生在机械传动系统里，当齿轮之间或和齿条之间缺少润滑时，就会发生时而粘住时而滑动的不连续“爬行”现象。要消除干摩擦自激振动，利用润滑剂就能达到目的。润滑剂的存在使干摩擦转化为粘性摩擦，根本改变了摩擦的性质，自激振动现象也就自然消失了。
实验中还发现，当平台的运动速度v0 极大时，不能激发起滑块的自激振动。此时滑块在弹簧和干摩擦作用下，只能在平衡位置附近作衰减振动。将v0 减小到某个临界值时，稳定的平衡状态可突变为不稳定而转化为自激振动。
要说明此现象，必须分析图7的阻尼特性曲线ψ(y)。可以看出，原点附近的负阻尼仅发生于v0 较小的情形。若增大v0 改变原点的位置，可使ψ(y) 曲线的斜率改变符号，使相平面内奇点O 附近的零斜率等倾线移至第二、四象限（图9）。则相轨迹必向原点趋近，奇点变为稳定焦点。滑块在干摩擦作用下的运动成为衰减振动。如逐渐减缓平台速度，则图9中的奇点O 沿y 轴向上移动。当平台速度v0 小于某个临界值v0,cr 时，奇点到达图8所示位置，附近的零斜率等倾线处于第一、三象限，则滑块的衰减振动转变为自激振动。
图9 干摩擦作用下的衰减振动
在非线性动力学中，运动性态的突变现象称为动态分岔(dynamic bifurcation)。上述稳定焦点转变为不稳定焦点，且伴随极限环出现是一种特殊的动态分岔，称为霍普夫分岔 (Hopf,E.)，v0,cr 为分岔点。图10 直观地表示出衰减振动向自激振动的演变过程。
图10 衰减振动向自激振动的演变
改写自：
刘延柱，陈立群，陈文良. 振动力学(第三版). 第4章. 高等教育出版社，2019
刘延柱. 趣味振动力学，7.4节. 高等教育出版社，2012
来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。
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