关于《经典力学》札记
本文写作，有点模仿梅凤翔老先生的《分析力学及理论力学札记》的味道。他的文章在一些刊物上发表，我不这么做。这些短小的讨论，又类似周国平的著作。他的散文有个特点，即都是一些短小的类似格言一样的刊物。我写这些片段式讨论和总结，尽量做到言之有物。我希望这些可以作为经典力学教材的补充和总结。我的主要参考教材是Landau的《力学》和Arnold的《经典力学的数学方法》。札记指的是读书时摘记的要点和心得，故取名札记，是很合适的。01、经典力学的重要性经典力学是理论力学或者理论物理的第一门课，学好经典力学是学好物理的关键。理论力学的思想——最小作用量原理等，会用在后续几乎所有的物理课程中。这门课有一条非常清晰的主线，即这个原理，理清这根脉络，是学好理论力学的根本。如果学好了，这门课的所有内容可以写在半页纸上。
但是这门课学起来会非常困难，有几个原因：第一，大二学生刚学完微积分和微分方程，但不熟练；第二，大量的近似，让人眼花缭乱；第三，大量的抽象的公式推导，很多公式的物理意义也难以理解（或缺乏明确的图像）。那么，如何才能学好呢？两个建议。第一，多证明一些基本的结论，多推导；第二，多用 Mathematica 的 NDSolve 和 Plot 等（也可以用其它软件）做数值模拟，碰到不懂的，就先模拟画图看看。这样可以对这些问题积累第一手的感觉，对提高自己的理解力和直觉能力有很大帮助。
物理图像很重要。在物理中，每个公式应该都有明确的物理意义和图像。在讲课的时候，我会尽量注意这些细节。学生们在学习的时候也要做到这一点。
第一个作业题是数值模拟双摆 (double pendulum) 的运动过程。学生需要用Mathematica 求解其运动方程，并观察简谐振动和混沌过程。这个摆是最简单的混沌摆。在WSU物理系门口，就有这样的一个混沌摆，我以前每次进楼，都会摇一下它并观察其复杂的运动过程。积累一些生活经验对于理解物理的运动会非常有帮助。
02、经典力学的主要内容如果按照内容来分，经典力学包括三个方面的内容，即拉格朗日力学、哈密顿力学以及经典力学的数学物理方法。目前绝大部分教材都按照这条主线来分，所以可以清楚地看到拉格朗日力学和哈密顿力学两个部分；但是有些教材则按照经典力学的主要运动形式和内容来分，比如朗道的《力学》等。这个比较容易理解，有些人喜欢把方法当作主线，而有些人把问题当作主线。此外，绝大部分教材不会讨论经典力学的数学方法，但是 Arnold 的经典教材《经典力学的数学方法》会介绍这些内容；这本书可能是这个方面最好的一本教材。经典力学的数学方法主要涉及的辛几何和辛代数（辛结构），在很多物理（尤其是几何部分）课程中都有用到。
03、牛顿力学的“局限性”牛顿运动方程以为基础，其中Fi 为力，它对应势能U=U(x1,x2,x3,⋯) 在xi 方向的梯度。这个方程在应用起来有一些明显的局限性。第一，它很难用来研究一些复杂的力学模型。这是因为在这些模型中，力和坐标等都不一定要有简单、直观的定义。这是因为在受限条件下，直角坐标不是一个很好的描述形式。第二，这个方程只适合在直角坐标系下求解，如果转到其它坐标系，比如球坐标、柱坐标，就会非常麻烦，比如我们不会有，其中r 为球坐标的半径。此外，这个梯度∂rU 似乎也没有明显的意义。这个困难也可以从一些具体的计算问题中看出来，几个弹簧连接在一起的球的运动轨迹，斜面上滚动的小球，以及摆长可以变化的单摆的运动等。所以在一些有约束条件的系统中，利用牛顿运动方程，都是不好处理的。
力是牛顿力学的根本，每个地方都体现了力的作用。但是在很多力学课程中，比如电动力学、统计力学、量子力学等课程中，力的概念就没有那么根本了。注意，在这些“力学”中，力不是force，而是mechanics。
04、Lagrange（拉格朗日）方程以及它的优势我们记L=T−U，它对应动能和势能的差，比如和U=U(x)。代入下面的方程（注意和x 是完全独立的物理量）
这个拉格朗日方程可以直接给出牛顿运动方程，即。所以，拉格朗日方程和牛顿运动方程是完全等价的。这个方程包括两个部分，我们可以定义$p_i=\partial L/ \partial\dot{x}_i$（定义xi 为坐标），那么pi 对应的是动量。这个动量对时间的导数，给出所谓的梯度力。所以，这个方程有明确的物理意义。这个新的公式有几个明显的优势。第一，它不需要明确给出力和加速度；第二，它对任何一个坐标都是成立的，比如假设xi=xi(q1,q2,⋯,qN,t)（这个函数是任意的）, 那么我们可以证明
这个性质保证我们可以对它做任意的坐标变换：柱坐标、球坐标、椭圆坐标、傅立叶变换等，它对应的拉格朗日方程不变。由此可见，拉格朗日方程有更加广泛的使用范围，可以用来研究非常复杂的力学过程。在逻辑上，拉格朗日方程如果可以有广泛的应用价值，必须可以在任意坐标系求解。非常遗憾，很多教材没有给出这个变换的证明；或者提到了，但没有明确点明其重要性（和意义）。如果我们可以在任意坐标下计算这些问题，那么我们可以选择最合适的坐标系/参考系，从而得到更多的守恒量。这些守恒量可以让我们的问题大大化简。
拉格朗日的第三个优势在于，它对应最小作用量原理——即哈密顿原理。拉格朗日是从达朗贝尔原理推导出这个方程的，而稍晚的哈密顿则是从最小作用量原理给出来的。它们的差别是，达朗贝尔原理是变分法的微分形式，但是哈密顿是变分法的积分形式。从电磁学中可以看出来，这两种描述是等价的。所以，如果定义
那么，上面的拉格朗日方程对应δS=0。显然，最小作用量的计算和坐标系无关（因为不同坐标系L 是不变的），所以上面的拉格朗日也和坐标选择无关。
第三个优势无与伦比，很有启发性。这是因为牛顿方程是二阶导数的运动方程，它的运动由一个最小作用量保障。那么，是不是所有二阶（或者高阶）微分方程都有类似的原理对应呢？对，《数学物理方法》或《数理方程》的变分法就做这个事情。当然，这个原理不一定百分之百成立；但是很多方程都有这个性质，即很多微分方程都是某些（物理）过程的δS=0（最小作用量原理）——困难在于如何寻找这样的L。我们可以认为这是二阶微分方程的“力学化”。至少所有力学问题相关的偏微分方程，都可以由这个原理保障。
05、达朗贝尔原理和虚功原理达朗贝尔原理说，对任意位移，都有
括号中的表达式即为牛顿运动方程。如果是静止/平衡系统，加速度为零，所以有。它表明对于平衡系统，对它的任意扰动，所有力做的功之和为零。反之亦然。可见，这个原理有直观的物理图像，所以拉格朗日定理有坚实的理论基础和直观的物理图像。遗憾的是，这个公式还需要引入力，但是力在一些复杂的系统中不好计算；如果转换到其它坐标系，则更加抽象。所以和牛顿力学公式一样，它的适用性有限。在力学教材中，它一般用来求解平衡问题。在高中竞赛中，它倒是一个重要的计算手段。
06、理论力学的主要物理模型理论力学主要处理的模型包括：
· 散射问题，它直接用在原子物理中，即所谓的卢瑟福散射；
· 两体问题，比如太阳和地球的体系，并证明椭圆轨道（可以证明圆形轨道不可能是拉格朗日方程的解）；
· 相互作用弹簧问题；
· RLC和LC电路（这个模型说明很多非力学问题可以有类似的力学描述，以后很多问题都可以这样力学化。这是典型的类比法）；
· 电磁场问题，其拉格朗日为；
· 相对论问题，其哈密顿为；
· 耗散问题；
· 刚体转动和角动量问题（了解欧拉的贡献，欧拉转动和欧拉角等；在量子力学中，出现角动量量子化和对易关系；了解角动量守恒）；
· 小幅度振动问题和参数共振问题等。
所有这些问题都可以用拉格朗日方程描述。这些模型在量子力学中也有重要应用。
07、认识达朗贝尔和拉格朗日，以及当时的时代背景达朗贝尔 (1717～1783) 法国著名的物理学家、数学家和天文学家。他也是启蒙运动的重要人物，比如他和与当时著名哲学家狄德罗一起编纂了法国《百科全书》，并负责撰写数学与自然科学条目，是法国百科全书派的主要首领。他所处的时代，是法国启蒙运动时期，也是数学家云集的时期。在18-19世纪，法国和欧洲大陆出现了一批伟大的数学家和物理学家，包括欧拉、拉普拉斯、拉格朗日、伯努利、柯西、泊松、雅可比、高斯、阿佩尔 (Appel)、菲涅尔、阿拉果 (Arago)、傅立叶等。法国的数学从此崛起，直到今天，法国的数学研究依旧非常厉害。法国的数学传统，可以追溯到更早的笛卡尔、莱布尼茨和惠更斯等。这些科学家在波动光学方面也有重要贡献。法国对科学家的重视，可以体现在埃菲尔铁塔上的72人名，其中有很多伟大的数学家。
这些人之间有非常复杂的师承关系。比如约翰·伯努利是欧拉的老师，欧拉是拉格朗日的老师，拉格朗日又是柯西的老师。它们是数学的变分法的主要发明人，后来也自然而然把这个方法用在物理问题中，最重要的成果就是拉格朗日方程。随着牛顿的去世，欧洲的数学发展渐渐集中在以法国为中心的欧洲大陆，也直接导致了科学中心转移到法国。数学中的分析法引入物理中，取得了伟大的成就；拉格朗日的《分析力学》，据说没有一张图。
科学史在科学教育中扮演了重要角色。现在有人意识到科学史在思政教育中的意义，但是实践的人还太少；其实，科学史在厘清科学思想的起源和发展方面有重要价值，它在科学教育中的意义会更大。
08、力学发展的几个重要/跳跃性阶段力学理论的建立，经历了几个重要的跳跃。首先，牛顿建立了牛顿方程F=ma；后来，拉格朗日根据达朗贝尔原理给出了一个微分方程的描述，它等价于牛顿方程；接着，哈密顿给出了哈密顿最小作用量原理以及哈密顿方程，这个方程给出了哈密顿力学的数学结构，即所谓的辛结构；接着，诺特 (Noether) 建立了对称和守恒之间的关系；最后，在20世纪初建立了经典场论，并最终完成量子场论的建立。这是主线，如果仔细研究这些历史，比如参考梅凤翔老先生的《力学史》，会看到每个重要的进步，其实都有许多人的贡献。一个小的进步，汇聚为最终的重要的进步。这个进步的规律和所有其它科学的进步规律是一样的。那种跳跃式的进步，在科学史上也许是罕见的，或者没有的。
科学史关于科学是如何进步的，一直有争论：科学革命和科学渐进。我倾向于后者，并且认为科学革命的观点是因为这些人忽略了同时代很多人的贡献，导致了科学思想忽然产生的“假象”。这是仁者见仁的事情。
09、为什么耗散不能写成拉格朗日的形式？
耗散系统的拉格朗日方程一般写成
其中Qi 是耗散项。它一般不能写入L 中（假设这个拉格朗日是局域的），否则就有最小作用量原理了。其原因如下：假设存在L→L+f，其中f 吸收Q。此外，假设Qi 和速度无关。那么。这是一个非局域相互作用，它的值和路径有关。可见，耗散项Q 不能被吸收到L 中。这个反证法在很多教材中都没有给出来，它们只告诉学生我们有这样一个结果。
这个结果也暗使我们，如果L 要变得有意义，必须是局域的，即任何一个物理量，它的相互作用只和当地的位置有关，和遥远的位置无关，也和过往的历史无关。如果按照上面的定义，我们的L→L+f (f 的定义见上面)，那么它和路径 (Path) 有关，就不是很好定义的了——选择哪条路径呢？可见，我们的教材给出了拉格朗日量，但是对它的形式的讨论太少，学生们的认知也不够。
这种非局域的拉格朗日，因为笔者知识有限，不做讨论。它给出了正确的牛顿运动方程，所以有一定的合理性。怎么理解这种性质可能是一个重要的、有趣的问题。考虑这个问题，其哈密顿为H=H0−f，运动方程依旧由哈密顿运动方程描述。
我要强调耗散（或者非保守系统）的重要性，这是因为对耗散的理解由几个重要的阶段。比如经典耗散可以认为是一个物体和一个环境的相互作用，即所谓的郎之万方程。后来，大约在1980年代，很多科学家将这些理论推广到量子郎之万方程上，即这些耗散也被当作算子处理，并给出量子耗散模型。此外，在腔动力学中，有著名的In-output（输入-输出）理论，这也是对耗散的重要认识。耗散有一些基本的结论，比如涨落-耗散定理。所以在讲耗散的内容的时候，可以：做数值模拟；介绍一些基本的推导和结论；介绍未来可能的应用。今天很多人研究的非厄米问题，其实也是非保守系统的重要内容。它很重要，这是意为任何系统都会和环境相互作用，所以耗散不可避免。
10、经典力学概念在其它领域中的应用经典力学中有很多概念被用在其它领域，列举如下：
· 哈密顿方程和共轭对 (conjugate pairs)。在统计力学中，dU=pdV−TdS，那么V 和S 是共轭量。Maxwell 首先引入了这些概念。
· 最小作用量原理，在电磁学，相对论，量子场论等领域，都有广泛用到。
· 绝热定理，即I=∮pdq，这个量成了量子力学的核心概念，也是几何相的核心概念。
· 转动过程以及欧拉角在量子力学中对应的是Lx、Ly 和Lz 算子，以及量子态在Bloch 球上的转动。对于自旋，它对应Pauli 算子。
· LC电路在量子力学和量子信息中可以量子化，并给出量子比特。
· 电磁场的拉格朗日量在量子场论中给出最小耦合 (minimal coupling) 的思想。
· 经典力学中的回旋运动，在量子力学中对应量子化的Landau 能级。
· 经典耗散被推广到量子耗散。
· 经典力学的泊松括号到量子力学的对易子；以及这个括号对应的Lie 群和Lie 代数等。
可以这样认为，经典力学中的每个概念，最后都在其它领域得到了广泛应用。所以上课的时候，应该对这些概念有所侧重。经典力学要教好，需要把概念讲清楚、讲透彻，而且要照顾到未来的需求。
来源：龚明科学网博客，作者：龚明。
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