世界近代声学故事
尽管听力显然是我们人类最重要的感官之一，而且在很早的时代都有了公识：我们生活在一个充满声音的世界里。但是人类对这门学科的研究发展直到近代还是严重的疏忽的。为什么会这样？在许多年以前，人类思维的早期发展时提出了声音的产生，传播和接收的来由。古希腊哲学家提出了令人信服的观点，看起来似乎很正确了：声音的产生是由于物体某部分的运动产生。传播是通过空气也就是说产生了较后的不明确的运动，然后在耳朵边上的这个运动产生了听觉。这些观点很模糊，但是它们已经比大的客观物体的运动规律的想法和光与热的首要理论可以接受多了。物理学的后来好多分支的理论遭受了许多变迁，直到近代的观点的获得。但是声学基本上是通过数学分析方法对基本理论的细节处理，和对以前早已发现的现象进行应用。在它的理论方面，声学的历史被并入到数学的机械学演变发展中。这种首先看起来似乎有理的观点，以及现代物理学家坚持错误的认为声物理学早已被解决。它已不再是一门物理学科，而是电子工程学的一个分支或者生理学，但是这种观点实际上是一种曲解。当早期阐述的观点没有经受太多改变时，已经没有正当理由可声称这个学科没有历史价值。通过重新审视，我们通过观察机械学方面的历史细节和物理学的其他分支，抛弃了旧的观点，而得出对声学理论和声学的实践有肯定的意义。声学的问题很容易地被分成三个方面：1、声音的产生；2、声音的传播；3、声音的接收。这和历史的观点是一致的。
在很早的年代就发现当一个固体物质被撞击能观察到声音的产生。还有另外的发现在一定条件下，声音能带给耳朵一种愉悦的感觉，就叫音乐。在很早的的时候就有历史记载，当然，也包括在适当条件下，声音也来自人的口中，可能来自周围的空气或一个合适形状的管子。但是音乐作为一种艺术，我们从可得到的记载上得知，它的自然性开始通过科学方式的检查。我们常常假设最先研究乐器声音的希腊哲学家是Pythagoras,公元前6世纪，他在意大利南部城市Crotone,建立他的学校。他的实际做法给人印象深刻，用两根拉直的弦在底部扎牢，高音的音符是从短的弦那里发出，而且，如果一根弦是另一根的两倍长，比较短的能发出高于长的一个高度和音。这个故事好象有点传奇色彩。当Pythagoras和他的追随者一起做实验需要整合他们的数据时，它常被引用作为一个解决迷惑的基本。毕答哥拉斯的学校的希腊哲学家们，例如意大利南部城市Tarentum的Archytas,活跃于公元前375年前后，提出的音调以某种方式依赖于声源物体的振动频率，这个观点看起来似乎已很清晰。关于这个观点，一个相当清楚的描述也能在公元后6世纪罗马哲学家Boethias的著作中找到。关于现代科学的基本关系，通常需要去参考Galileo Galilei(1564—1642),1638年第一次出版的《关于两种新科学的对话》，意大利“第一天”的最后，激烈的讨论了物体的振动问题。最初众所周知的发现是单摆的等时性，Galileo的确犯了错误，也许在他哪个时代是可以谅解的。包括关于钟摆的周期跟振幅无关，而只依赖于决定振动的频率的悬线的长度。作者继续描述了一个物体的振动能引起另一个有一定距离物体的相似的振动这种共振现象。他重新审视了这个关于振动弦的音调与长度关系的表达观点。物理关系就是找到了每个单位时间振动的次数，那就是我们现在常说的频率。他声称他的观点通过两种观察实验可证实。第一个是把一个玻璃酒杯放在一个大容器里，底部固定，装满水直到杯的边缘，用手指摩擦玻璃酒杯的四周边缘，酒杯会产生振动并发出声音，同时，可观察到水的表面会产生波纹。那时，玻璃杯中传出的乐音偶尔会产生八度和音，水中的涟漪被分成两部分。那就是，我们现在称的波长减半。第二个观察实验是他通过一个铜盘和铁凿改变它们的相互位置而发出刺耳声。一会儿后，刮擦声会伴随着带清晰乐章的笛声出现。在这种情况下，他能发现在铜的表面会产生两条等距离平行的长条纹。他还可以进一步注意到随着刮擦声的提高，笛声的音调也跟着提高。此时，减少的条纹会分开，Galileo指出，他能在凿子刮擦的音调的帮助下给小型拨弦钢琴调音，同时发现，当人耳把两根弦之间的音程判断分成五等份时，铜盘反映出来的刮擦声的平均间隔为3：2。仔细读Galileo的著作能清楚意识到，他清楚地理解到弦的振动频率依赖于弦的长度，紧绷度和密度，尽管他的许多知识毫无疑问来自于他的前辈。他做了一个关于弦与钟摆的振动的有趣比较，试图清楚地得出为什么合适的频率---那就是，那些两个小整数比率的频率，出现在我们的耳朵时能结合成愉悦的声音，而别的不合适的声音会不一致。Galileo通过不同长度的钟摆沿着同一个轴线摆动，在同一个水平面观察，用眼睛测量得出（至少他的眼睛得出）它们的频率近似地相等，除了结构形状复杂的单摆。我们必须承认这是通过基本分析而得出的运动学上的伟大发现的。
如其他历史一样，人们要铭记科学发展的历史，很大程度上取决于历史学家，毫无疑问，Galileo在声学方面的成就受到了质疑。Clifford Truesdell在他关于弹性力学的详尽历史描述中，夸大地表达了Galileo对振动机械学的贡献。他指出，当Galileo第一次证实的时候，大多数振动结果出现在第一次对话时，尽管Galileo的著作中关于机械学的研究来源于17世纪前。
同时,一些研究人员显然开始接近Galileo曾激动表述过的基本想法。法国人Isaac Beeckman (1588-1637)显然曾经深入研究过弦的振动，并且早在1618年就发表了他的研究结果。在论文中，他证明了他关于基频和谐频之间关系的想法，并给出了它的特征参数。通常他被誉为将Rene Descartes的理论应用于物理学研究的先驱者。比Beeckman更早的意大利人Giovanni Battista Benedetti (1530-1590) 1585年于图灵发表了关于悦耳间隔的理论，其中清楚地给出了与声音的产生相对应的振动过程的基频的系数与谐频的系数是相等的结论。法国圣方济会的Marin Mersenne (1588-1648)进行了更为详细的研究。Mersenne于1625年发表了他由观察伸展弦的振动而得到的结论。在他的论文中，他认识到在其他条件不变的情况下，振动谐频与弦长成反比，而与横截面积的平方根成正比。因此Truesdell认为Mersenne明确地证明了Galileo关于弦振动的重要结论。 稍后的研究者，如Robert Hooke (1635-1703)，他的弹性定律在物理学上广为人知，试图通过将小齿轮运行于纸板边缘来将振动谐频和基频联系起来，这个实验在今天的普通教科书上都有描述。
毫无疑问彻底解决谐频和基频关系的是法国人Joseph Sauveur (1653-1716)。可以认为是他是第一个使声学成为声的科学的人。众所周知声学这个词来源于希腊语，它的意思是听，尽管现代声学已经超出了人耳所能听到的声音，但它在一定程度上仍是恰当的。Sauveur意识到当两个基频稍有不同的风琴管一起发声时产生的节拍的重要性，并且用人耳听起来相差半音—如频率比为15/16—的两个风琴管来计算基频。通过实验他发现当同时发声时，风琴管一秒中有六个节拍。他假设这个数据是两个风琴管的频率差，由此Sauveur得到了后面的两个数据，90和96 cps。Sauveur也作了弦的实验，1700年他通过测量下垂中点，并通过某种不确定的方法算出了一个给定的伸展弦的频率。
由于英国数学家Brook Taylor (1685-1731)，无穷级数方面的Taylor定理的发现者，我们第一次可以给出振动弦的严格动态解。这发表于1713年，它是基于当弦以我们今天所称的基本模式（例如，弦的所有部分都同时位于平衡线的一侧）振动时，曲线形状已给定的情况。我们认为曲线有这样的性质：它的所有点会同时达到水平位置。由这条曲线的等式和牛顿位移等式，他得到了遵循Mersenne和Galileo实验定律的基本振动的频率公式。有趣的是正如Truesdell曾指出的，这好象是牛顿位移公式F=ma第一次应用于连续介质位移中。
尽管Taylor只处理了一个特殊情况，并且显然无法将他的处理方法应用于普通弦的所有振动模式，因为他缺乏微积分的部分衍生知识，但是他为更巧妙的数学技巧开辟了道路，这些技巧由下面这些研究者发现：瑞士人Daniel Bernoulli (1700-1780) (他的家族在18世纪产生了八位杰出的科学家，他是其中之一)，法国人Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783)，以及瑞士人Leonhard Euler (1707-1783)。这些学者确立了弦振动位移的部分差分方程，并且实质上以现代的方式解出了它们。有趣的是这反映了大量数学工具的缺乏阻碍了声学的发展，正如它通常阻碍力学的发展一样。不幸的是，Sir Isaac Newton的微分和Baron Gottfried Wilhelm von Leidnil (1646-1716)的差分方程对于解决连续介质位移都是不充分的。
我们注意到，可以将弦振动看作声源从而重新以物理学的观点来看待这个问题，伸展弦可以部分振动以至于在某些Sauveur所称的波节的中间点处，没有位移产生，而具有强烈位移的某些中间点称为波腹，这主要是由英格兰的John Wallis(1616-1703)和法国的Sauveur发现。很快我们发现这种与之相应的振动的频率高于那些没有波节的弦的简单振动，而且实际上这些频率是简单振动频率的整数倍。Sauveur称相关的发声为简谐音，而与简单振动相关的声音称为基本音。这些称法（从1700年左右起）一直沿用至今。Sauveur指出了另外一个重要事实，振动弦可以同时以它的几种简谐频率发声。Daniel Bernoulli在他为柏林皇家学会作的著名报告中给出了这种现象的动态解。在论文中他指出多数简单谐振动幅值同时出现的弦振动是有可能的，而且每个幅值都单独作用以形成合成的幅值，弦上任一点在任意时刻的位移等于与之相关联的各种简单简谐振动模式的代数和。由此他提出了著名的小振幅同时存在定理，并涉及到了重叠定理。Bernoulli试图给出定理的证明，但没有成功。因为他对数学的理解并不像他对物理问题的理解那样深刻。重叠定理的实际重要性几乎是在同一时间由Euler发现的：即由部分差分方程决定的理想无摩摖弦的位移是线性的。在这种思想下，重叠定理可以作为定理来证明。
在18世纪中叶甚至直到1785年，整个弦振动的历史包含了一系列天才研究者们的辩论，如Bernoulli，Euler和d’Alembert互相在论文中激烈的争论。他们非常严谨的对待自己的研究，然而不幸的是他们毫不犹豫的使用粗鲁的言辞诽谤对方。这是一个需要用数学来描述连续介质位移的时代，所以使声学成为一门真正的科学的基本理论正在产生，而且这项工作并不容易。优秀论文总是试图解释一些令人烦恼的问题，不过正如当时的伟大科学家们经常范一些严重错误一样，他们在讨论和论文中都一致认为这些问题是困难的。写出任何专业函数的可能性－例如，由重叠定理的提示用正弦和余弦的无穷级数来表示振动弦的初始形状－在18世纪中叶的数学水平下是很困难的。只有到了1822年J.B.J.Fourier(1768-1830)在他的热分析理论中，提出了对声学发展具有巨大价值的序列扩展理论，上述问题才变的有可能解决。 18世纪的数学家中研究弦振动问题的有J.L.Lagrange(1736-1813),他来自于意大利的图灵，其职业活动主要在法国。他是论文《力学分析》的作者，在论文中力学被缩减为数学分析的一个分支，而且在序言中作者夸口说他没有收录任何图表，因为那些都是不必要的。学习理论物理的读者可能会联想到一般化坐标和Lagrange公式。1759年在给图灵学院的一篇内容广博的论文中，Lagrange决定采用一种他曾经认为是与众不同的和独创的弦问题解法。他假定弦是由有限数量，且空间、质量相等的元段连接而成的，这些元段来自于没有质量的伸展弦。之后他解决了当这个系统具有多个自由度时作为动态系统的位移问题，并且建立起相当于大量元段的众多频率。当他突破了这个难题并且使元段的数量趋于无穷大，相应的元段的质量就很小（所以它的乘积相当于有限质量的弦）时，他发现这些频率恰好就是伸展的连续弦的简谐频率。Lagrange认为他的方法避开了与连续弦位移有关的分析难题，从而使他实现了一个决定性进步。一些评论如下：第一，Euler早在1744年就解决了弦上n个元段的位移这个力学问题，其中n为整数，尽管他没有在论文中成功地突破这个限定；第二，Truesdell指出Lagrange的论文中关于限定的部分在数学上是错误的，而且为了准确，在本质上需要同样的数学假设，所以他与他的同辈Bernoulli，Euler及d’Alembert都致力于分析连续弦的这个问题。正如它可能的那样，J.W.Strutt Lord Rayleigh (1842-1919)在他的《声理论》中采用了Lagrange的方法，因而你可以在现在的大多数力学和声学教材中找到它。实际上它并不是解决弦振动的最直接的方法，而且毫无疑问Lagrange夸大了他的成果的重要性。但是他的方法具有多样性的价值，而这在科学上是很重要的；我们用越多的方法来解决某一问题，就可以更好的理解它。实际上，Truesdell认为Lagrange对于力学和声学的贡献通常被过高估计。
d’Alembert通常被誉为第一个以我们现在所参考的行波方程的形式，于1747年给出振动弦的部分差分方程。他也得到了行波在弦两端传播时的通解。从这一点上看，弦的振动是这些行波的合成，从而形成了所谓的驻波或静止波。如上所述，有许多关于这些结论的意义和有效性的争论，正如今天关于相对论和量子力学这样的现代理论的争论。
你无法想象的到，振动弦如此重要以至于它吸引了所有18世纪的著名学者。他们也对其他的声音产生方式感兴趣。例如，1759年在Lagrange的论文中，有关于风琴管和通常的管乐器产生的声音的处理。由于已经知道基本的实验情况，Lagrange能够从理论上预测出关闭和开启的风琴管的大致简谐频率。边界条件使问题有些麻烦，实际上现在也是这样。在任何情形下，这种类型的问题只需进一步稍加处理就非常接近声音的产生方式。在这里我们要指出Euler在这个领域也作出了重大贡献；这也是在最近才发现这些贡献的重要性。在Basel 1727年的一篇“有关声学的物理论文”中，当时Euler年仅20岁左右，关于管道的意义的本质特征的研究实际上已经达到现在的水平。需要指出的是，这项成果要远早于Lagrange的工作。当时Euler对乐器如笛子特别感兴趣。大概在1759年，Euler和Lagrange作了关于管道中声音幅值问题的研究，而且很多方面他们都是一样的。1766年左右，Euler发表了一篇关于流体力学的优秀论文，其中的第四部分全部是有关管道中的声波的。今天对于我们来说有些难于评价为了解决这些问题，那个时代的伟大数学家们所付出的巨大热情。
当然18世纪的数学家们也注意到除了弦以外的其他固体受到扰动后也会发声。例如他们很熟悉钟，而且积累了大量那个时代关于这类声源的经验知识。幸运的是，这个问题早已由Robert Hooke 以最简单的形式解决了，他在1660年宣布了他那字谜形式的CEIIINOSSSTTUU定理，用拉丁语说就是“ut tension sic vis”，这个定理把固体在弹性变形范围内的压力与变形联系了起来，即在所谓的弹性范围内，弹性体（例如对于线性杆或棒随着长度增加元段也增加）的变形与压力（如杆或棒在拉伸方向上单位面积上的受力）直接成正比。这个定理成了包括弹性振动产生声音的弹性数学理论的基础。以各种方式支撑和夹紧的棒的振动的应用早在1734－1735年就由Euler和Bernoulli研究过了。稍后在Lord Rayleigh的《声学理论》中他将数学方法系统化并扩展了。基本的思想起源于对变形的棒的能量的描述，以及所谓的多元化方法，这导致了著名的空间导数第四定律。
我们发现对弹性板的相应数学分析方法更加困难，而且出现的更晚，尽管在18世纪后半叶德国科学家E.F.F. Chladni (1756-1824)得到了很多有用的实验数据。1787年他发表了著名论文《Entdechungen iiber die Theorie des Klange》，论文中他描述了通过将沙子撒在振动板上来寻找节点线－如位移为零的线－的方法。长期以来这些Chladni线被认为非常美丽。通常可简单的用解释振动弦节点的存在的方法来解释。但是确切的形式很多年来都无法分析出来，即使是Chladni 1802发表了他的经典著作《Die Akustik》之后。拿破仑皇帝曾向法兰西学院提供了3000法郎的奖金以奖励能够建立振动板的静态数学理论的学者。这个奖项1815年颁给了著名女数学家Mlle Sophie Germoin，她建立了正确的第四定律方程，但是她选择的边界条件被证明是错误的。直到1852年G.R. Kirchyhoff (1824-1887)给出了一个更加精确的理论。关注于如飞机机身的振动的现代技术仍然在支持板和各种形状的薄膜的振动的研究。柔软薄膜的振动对于理解鼓的发声很重要，这个类似问题的第一个解法通常认为是由法国数学家S.D.Poisson (1781-1848)给出的，尽管他没能完成圆形薄膜的解法，这部分是由R.R.A.Clebsch (1833-1872)于1862年完成的。
Truesdell曾指出将这项成就归功于Poisson，就忽视了Euler在70年前所作的一项重要工作。Euler得出了振动弦的正确部分差分方程，并且合理的描述了方形和圆形薄膜，但是他没有定义边界条件，所以没能得到普通模式（具有两个因数）的正确解。Poisson显然从未读过Euler的这篇论文，但他得到了方形薄膜的普通模式的正确解。
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