基本概念的讨论：模态为什么正交？
对一些基本概念的理解在学了多年振动依然理解不深，大家讨论一下吧比如为什么振动的各阶模态是互相正交的，有时候在运用摄动方法的时候甚至要求
某阶模态与其他阶模态函数的导数也正交？
虽然我知道这么做，但是这个有什么意义吗？有没有直观的例子可加深理解？ 其他的不知道，但是之所以引入模态的概念，之所以从物理坐标变换到模态坐标就是为了解耦，就是为了让其正交，这样方程才能解出来。
从能量角度说，这样各个振型之间就没有能量的交换。 应该是从解方程方面说的吧 从数学上看，对响应函数级数展开后，其中的各项构成各阶模态，而级数展开形式本身要求各个基函数是相互正交的，也就是说：其实是把响应函数放到了一个函数空间里，各个展开项系数相当于这个响应在此函数空间里的坐标。 呵呵呵，这个问题，我想可以从两个方面去理解也许更容易一点
1.任一阶主振型的惯性力在另一阶主振型作为虚位移上所做的虚功之和为零
2.任一阶主振型的惯性力只在各自的振型上做功，在另外的主振型上不做功 因为2个自由度以上的系统往往都有耦合现象，例如方程M*dX^2/d^2t+K*X=0中的M、K不同时为对角阵。但是从求解的角度来说，我们又希望其中的每个方程都是独立的，那样我们就可以像求解单自由度系统一样求解。我们就想能否选到合适的坐标系，使得运动完全不耦合，即系统质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵，称这样的坐标系为主坐标系，而模态坐标正是我们要寻找的主坐标。固有振型的正交性是指（以2自由度为例），第一阶固有振动引起的作用力在第二阶固有振动上所做的功为零，即两种固有振动间无弹性势能的交换。同时也可证明振型的各阶导数间也是正交的。 原帖由 hongking111 于 2006-9-18 22:33 发表
因为2个自由度以上的系统往往都有耦合现象，例如方程M*dX^2/d^2t+K*X=0中的M、K不同时为对角阵。但是从求解的角度来说，我们又希望其中的每个方程都是独立的，那样我们就可以像求解单自由度系统一样求解。我们就想 ...
恩，这个不错，在教学的时候这样讲，相信有点力学基础的人都能很容易去理解 原帖由 zhuofeng 于 2006-9-18 21:37 发表
呵呵呵，这个问题，我想可以从两个方面去理解也许更容易一点
1.任一阶主振型的惯性力在另一阶主振型作为虚位移上所做的虚功之和为零
2.任一阶主振型的惯性力只在各自的振型上做功，在另外的主振型上不做功
这个经典 一句话：为了解耦！但是前提一定是线性问题。 其实动力方程就可以推倒出来啊 就像不同的坐标系下，对同一运动系统的表述会很不一样，表述同一运动系统的振型模态 也可以有很多物理量的坐标系，当然其中很多都是很复杂的，对解决实际问题是没有实际意义和帮助的，只有那个特殊的正交状态的模态坐标，才是最简单最有用的坐标，因为它能把系统解耦，，这个特殊的坐标称之为主坐标，对应主振型，这个状态可以把方程解开，把问题解决掉，， 受教了，我觉得我提出这个问题没怎么认真的独立思考。仔细想一下也明白个大概，各位的解释更充分了。 原帖由 21172485 于 2006-9-17 21:30 发表
对一些基本概念的理解在学了多年振动依然理解不深，大家讨论一下吧
比如为什么振动的各阶模态是互相正交的，有时候在运用摄动方法的时候甚至要求
某阶模态与其他阶模态函数的导数也正交？
虽然我知道这么做，但 ...
各阶模态是互相正交是为了解耦，使问题最简化。类似向量的分解，比方说，一个平面内力向量的分解方式有很多种，但采用直角正交分解最方便。 .
模态正交，具体表现在模态振型存在正交，请注意“存在”，而这种正交是线性系统模态的基本特性，准确地说是固有特性，正因为存在这种正交特性，带来了运算时的广义坐标下的耦合矩阵变为模态坐标中的解耦，计算变得简单。
但是，一定不要认为反了，由于存在正交，人们运用解耦；而不是因为能够解耦才正交！
“1.任一阶主振型的惯性力在另一阶主振型作为虚位移上所做的虚功之和为零
2.任一阶主振型的惯性力只在各自的振型上做功，在另外的主振型上不做功 ”
这是正交相应的物理解释，是模态振型正交的物理形式，所以不能用物理含义去证明其相应的数学表达。
上面模态正交的数学和物理形式和概念有解释清楚了，那么，为什么会正交呢？
答：正交是线性系统存在的固有特性，属于 Nature 的东西，Nature就是非人造的 .. .. .. 主要从以后的解方程组时候要解耦考虑吧
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