关于 solve 和 fsolve 的简单比较
以matlab R2008a版本为例，各版本出错提示可能有所不同。有不对之处，欢迎指正。1.solve 和 fsolve的基本含义
matlab给出的关于solve 和 fsolve的基本描述为：
solve——Symbolic solution of algebraic equations
fsolve——Solve system of nonlinear equations
可见solve用于解决代数方程(组)的符号(解析)解，而fsolve用来解决非线性方程(组)的数值解。
【在matlab里面solve命令主要是用来求解代数方程（即多项式）的解,但是也不是说其它方程一个也不能解，不过求解非代数方程的能力相当有限，通常只能给出很特殊的实数解。从计算机的编程实现角度讲，如今的任何算法都无法准确的给出任意非代数方程的所有解，但是我们有很多成熟的算法来实现求解在某点附近的解。matlab也不例外，它也只能给出任意非代数方程在某点附近的解，函数有两个：fzero和fsolve,具体用法请用help或doc命令查询吧。如果还是不行，你还可以将问题转化为非线性最优化问题，求解非线性最优化问题的最优解，可以用的命令有：fminbnd, fminsearch, fmincon等等。】（引自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c4af5c101008w9f.html，作者：ggbondg）
下面举几个例子：
例1：>> solve('a*x-1')
ans =
1/a
例2：>> solve('exp(x)+sin(x)-2')
ans =
.44867191635127271149118657202662
注：对于solve结果的显示，有时看起来比较长，可用vpa进行精度控制，如：
>> vpa(solve('exp(x)+sin(x)-2'),3)
ans =
.449
例3：>> fsolve(@(x)exp(x)+sin(x)-2,0)
Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.
ans =
0.4487
2.关于solve 和 fsolve求解方程组时的书写规则
对于solve，方程可以直接书写，不需要运算符”.”；
对于fsolve，当未知量与未知量有乘除操作或未知量有开方、幂等操作时运算符”.”可写也可不写(记得好像必须写，试了试，发现不写也行)。下面举几个例子：
例4：>> solve('x+y.^2-1','x.^2-y-3')
??? Error using ==> solve at 77
' x+y.^2-1 ' is not a valid expression or equation.
例5：>> solve('x+y^2-1','x^2-y-3')
ans =
x:
y:
例6：function shiyan
clc
clear
x0=;
fsolve(@mf,x0)
function F=mf(x)
F=[x(1)+x(2)^2-1;
x(1)^2-x(2)-3];
%%%%%Result%%%%%%
Optimizer appears to be converging to a minimum that is not a root:
Sum of squares of the function values is > sqrt(options.TolFun).
Try again with a new starting point.
ans =
1.6268 -0.1537
例7：把例6中的mf函数，换成如下再试试。
function F=mf(x)
F=[x(1)+x(2).^2-1;
x(1).^2-x(2)-3];
例8：把例6的初值x0设为x0=[-2,2]; 运行结果为：
Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.
ans =
-2.1875
1.7854
可见，用fsolve解非线性方程组，比较依赖处置的选择，因此建议用fsolve解方程时，能大致了解问题的求解区间，以便选择合适的初值。
3. 关于solve 和 fsolve求解时，参数为多数值的求解
问题来源：http://forum.vibunion.com/thread-82658-1-1.html
类似问题描述：k=(5.0e+4):(1e+3):(6e+4);h=1.6e-6;n1=2.2899;n0=1.5040;n2=1.000;解方程组：
p1=sqrt(k.^2.*n1.^2-b.^2；p2=sqrt(b.^2-k.^2.*n2.^2)；p0=sqrt(b.^2-k.^2.*n0.^2)；
p1*h-pi-atan(p0./p1)-atan(p2./p1)=0。(见：http://forum.vibunion.com/thread-83102-1-1.html)
解决方法：这是非线性方程组，不过我们可以先用solve试试：
例9：问题如前所述。考虑用solve是否能解。
clear
clc
k=(5.0e+4):(1e+3):(6e+4);
h=1.6e-6;
n1=2.2899;
n0=1.5040;
n2=1.000;
for i=1:length(k)
y=solve(['p1=sqrt(',num2str(k(i)),'^2*',num2str(n1),'^2-b^2)'],...
['p2=sqrt(b^2-',num2str(k(i)),'^2*',num2str(n2)','^2)'],...
['p0=sqrt(b^2-',num2str(k(i)),'^2.*',num2str(n0),'^2)'],...
['p1*',num2str(h),'-',num2str(pi),'-atan(p0/p1)-atan(p2/p1)=0']);
end
%%%%%Result%%%%%
> In solve at 140
In shiyan at 9
y=solve(['p1=sqrt(',num2str(k(i)),'^2*',num2str(n1),'^2-b^2)'],...
['p2=sqrt(b^2-',num2str(k(i)),'^2*',num2str(n2)','^2)'],...
['p0=sqrt(b^2-',num2str(k(i)),'^2.*',num2str(n0),'^2)'],...
['p1*',num2str(h),'-',num2str(pi),'-atan(p0/p1)-atan(p2/p1)=0']);
Warning: Warning, solutions may have been lost
Warning: Explicit solution could not be found.
>> whos y
NameSizeBytesClassAttributes
y 0x0 64 sym
由此说明利用solve并不能解决这个复杂的非线性方程组，考虑数值解法。
例10：问题如例9，考虑fsolve求解问题。
% 主程序
clear
clc
global k h n1 n2 n0
k1=(5.0e+4):(1e+3):(6e+4);
h=1.6e-6;
n1=2.2899;
n0=1.5040;
n2=1.000;
x0=;
b=zeros(1,length(k1));
for i=1:length(k1)
k=k1(i);
y=fsolve(@myfun,x0);
b(i)=y(4);
end
plot(k1,b);
% 子程序
function F=myfun(x)
global k h n1 n2 n0
% p0 p1 p2 b----x(1) x(2) x(3) x(4)
F=[sqrt(k^2*n1^2-x(4)^2)-x(2);
sqrt(x(4)^2-k^2*n2^2)-x(3);
sqrt(x(4)^2-k^2*n0^2)-x(1);
x(2)*h-pi-atan(x(1)./x(2))-atan(x(3)./x(2))];
%%%%% Result%%%%%%%%%
y=fsolve(@myfun,x0);
Optimizer appears to be converging to a minimum that is not a root:
Sum of squares of the function values is > sqrt(options.TolFun).
Try again with a new starting point.
这说明所选初值并不合理。
例11 例10还可以这样改写：
% 主程序
clear
clc
% global k h n1 n2 n0
k1=(5.0e+4):(1e+3):(6e+4);
h=1.6e-6;
n1=2.2899;
n0=1.5040;
n2=1.000;
x0=;
b=zeros(1,length(k1));
for i=1:length(k1)
k=k1(i);
y=fsolve(@(x)myfun(x,k, h, n1, n2, n0),x0);
b(i)=y(4);
end
plot(k1,b);
% 子程序
function F=myfun(x,k, h, n1, n2, n0)
% global k h n1 n2 n0
% p0 p1 p2 b----x(1) x(2) x(3) x(4)
F=[sqrt(k^2*n1^2-x(4)^2)-x(2);
sqrt(x(4)^2-k^2*n2^2)-x(3);
sqrt(x(4)^2-k^2*n0^2)-x(1);
x(2)*h-pi-atan(x(1)./x(2))-atan(x(3)./x(2))];
例12 参见http://forum.vibunion.com/thread-82658-1-1.html此贴，看看大侠ChaChing，dingd（1stOpt解法）等的解法。
注：利用fsolve解数值解，初值的选择十分重要。而1stOpt则对初值的选择要求比较低，不妨一试。关于这一点，请参考如下文章：
作者：dingd 非线性方程组-1stOpt与fsolve的比较：
http://forum.vibunion.com/thread-48384-1-5.html
fsolve函数 求解非线性最小二乘解 是不是最好的方法？？求解答
回复 沙发 cammer534 的帖子
这个不一定。fsolve求解需要指定初始值。解的好坏应该和函数采用的算法有很大关系。 讲的非常好，谢谢。 什么软件都不是万能的，有时候也不能太相信！ 感谢楼主分享。
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