非线性振动的概要——自己整理（有误请指出）

博大广阔

一、非线性力通常有：非线性势力（弹簧力就是一种）、非线性阻尼力、混合型非线性力。阻尼通常是速度的非线性函数。混合型力指：一种力不能表示成只和广义速度或者广义坐标有关的函数。非线性项也可能发生在惯性项中，如机器燃料的燃烧，质量变化。
二、非线性振动具有的特点：
      1、线性系统的叠加原理对非线性系统不成立
      2、在非线性系统中对应的平衡状态和周期振动的定常解通常有数个。需要研究解得稳定性。
     3、存在非线性系统特有的自激振动。
     4、在单频扰动的情况下，其定常受迫振动解中存在成倍数和分数的频率成分。
     5、振幅和系统的固有频率有关，和初始条件也有关。
三、分岔现象：振动系统的定性行为随着系统参数的改变而发生实质的变化。分静态分岔：只研究平衡点数和稳定性随参数的变化        动态分岔：闭轨迹的个数和稳定性的突然变化。
四、混沌振动：一种由确定性振动系统产生，对于初始条件极为敏感而具备内含随机和长期不可预测的往复非周期运动。
五：自激振动：自激振动靠系统外的能源补充能量，能量输入时恒定的，由系统自身的运动状态的来调节。是由系统的物理参数确定。

非线性振动方程的解法归类：
      一：定性方法：相平面方法，就是直接画相图，有相轨迹来判断系统。低阶系统特适合。
     二：定量方法：数值解法和近似解析法（解析法目前仅对特定的系统才有）
          1、 数值解法
                 四阶龙格、中心差分法法，有限元法、有限差分法
         2、近似解析法
              正规摄动法，奇异摄动法，渐近法、平均法、多尺度法            

yuexiaoming

令X=X0代表非线性系统的平衡位置，取X=X0+▽X来分析在平衡点邻域内系统的运动。能不能帮我指导一下我的作业题啊   谢谢老师。

lcy1989

学习了~  希望多多交流啊

szxiangnuo

   新手 先来学习下  

博大广阔

回复 2 # yuexiaoming 的帖子

给你一个自编的判断解是什么类型的奇点程序（程序的内部算法源于刘延柱老师的非线性振动那本书的第二章）
%求解系统的极点和并判断其类型
%求解的系统类型：
% dx1=f(x1,x2);
% dx2=g(x1,x2);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function CC=critical_points()
clc
clear all
syms x1 x2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
[F,V Cri]=aa();                                               %奇点  
%F是两个函数组成的矩阵，V是函数中得变量V=[x1 x2];Cri为奇点
J=jacobin(F,V);
for k=1:1:size(Cri,1)
A=subs(J,{x1,x2},{Cri(k,1),Cri(k,2)});
A=double(A);
p=trace(A);
q=det(A) ;       %节点类型取决于A的特征值结构
w=p^2-4*q;

%奇点类型判断%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
if w>=0                                    %w>0,r1和r2 是不等实根，w=0是重根
    if q>0                                   %R1和R2是同号
        if p<=0
            Cr=[Cri(k,1),Cri(k,2)]
            disp('稳定节点')
        elseif p>0
            Cr=[Cri(k,1),Cri(k,2)]
            disp('不稳定节点')
        end
            
    elseif q<0
         Cr=[Cri(k,1),Cri(k,2)]
         disp('鞍点')
    end
      
elseif w<0                  %共轭复根
  if p==0  
      Cr=[Cri(k,1),Cri(k,2)]
      disp('中点')
  else p~=0
      if p<=0
         Cr=[Cri(k,1),Cri(k,2)]
          disp('稳定焦点')         
      elseif p>0
          Cr=[Cri(k,1),Cri(k,2)]
          disp('不稳定焦点')            
      end
  end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

end

end
%%%%%%%%%%%不同的函数需在此设置
function [F,V Cri]=aa()
%F是两个函数组成的矩阵，V是函数中得变量V=[x1 x2];Cri为奇点
syms x1 x2
F=[x1*(1-x1-x2);0.25*x2*(2-3*x1-x2)];%两个函数就是两行
V=[x1,x2];  
[x1,x2]=solve('x1*(1-x1-x2)=0','0.25*x2*(2-3*x1-x2)= 0'); %函数，不同的需更改
Cri=[x1,x2];
end

shr20604043

学些，学些。