关于有限元的思考

玉林

考虑以下几个问题：
1.有限元做模态分析，假设划分网格足够多，那么算出的结果就能足够精确。举例，对于一个物体，我划分一千个网格或者划分一万个网格，得出的前10阶模态（频率和振型）应该是一样的。为什么？
2对同一个物体，我使用两种不同的方法划分了一千个网格，这两种方法得出的钱10阶模态也应该是一样的。我的问题是为什么两者是一样的？从哪个方面去思考？
3.以上两个问题总结起来就一句话：有限元为什么是对的？
4.考虑第二个问题和多自由度结构振动的异同。多自由度结构振动中，可以选用不同的基向量，得出的结果（频率和振型）也是一样的。但是，多自由度结构振动中，不同基向量之间是线性转换关系，根据不同基向量得到的振动方程中得M,K,C都是只相差一个转换矩阵，特征矩阵也是合同矩阵，所以他们的特征值是一样的，特征向量相差一个转换矩阵。有限元中，理论上讲是有无限多个自由度，即有限元是用有限来近似无限。划分不同的网格就意味着选取不同的向量空间来近似，网格之间可以没有任何关系，即向量空间是互相独立的。
5.接着上一个问题和第二个问题。不同网格得到的前几阶模态是一致的，那么他们得到的特征矩阵，是不是应该也是合同矩阵（至少在前几阶）？
6.总结4,5，有限元模态分析和多自由度结构振动分析有何异同？
呵呵，抛砖引玉，大家各抒己见。

stgcgwj

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对于一个系统，理论上讲，其质量矩阵、刚度矩阵是固定的，不管你怎么划分网格。当求解精度满足要求，再增加网格是没有意义。
一千个网格和一万个网格可能前10阶一样，但再高阶，就会出现精度误差。

欧阳中华

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   “对于一个系统，理论上讲，其质量矩阵、刚度矩阵是固定的”这个概念是错误的，与坐标和单元类型及密度等都有关系..

玉林

1.关于有限元。弹性力学，实际位移是所有可能位移中势能最小的一个。有限元既是用单元形函数来表示可能位移。哈密尔顿原理，有限元是变分法的一种。
2.单元网格越多，越能精确表示可能位移。我的理解，这和对曲线进行数值积分类似。同一种方法，积分点越多，结果越精确。当积分点相当多时，精度满足要求，则无须再增加积分点。

玉林

3.关于多自由度结构振动和有限元模态分析，再增加一点。结构振动选择不同的广义坐标和有限元选用不同单元数是不一样的。与结构振动广义坐标对应的应是不同的单元类型。举例，整车一共有42个自由度（车体、前后转向架及四个车轮各6个自由度），若不考虑垂向振动，那么整车可以选取17个自由度，进行分析的时候是不能得到垂向振动的频率和振型的。同样，对于有限元，选用不同的单元类型也会得到不同的结果。比如，两点之间一连线，若选取弹簧单元，那么只能得到轴向振型，若选取梁单元，就会得到弯曲变形。

rogen

一个系统给定了，他的质量刚度就定了，这个概念没有问题，至于玉林兄你说的单元类型，有限元里面的单元类型，是考虑了不同因素的力学模型，你要是选择了不同的单元类型，相当于你考虑的因素不同了，那系统就变了，所以他的模态参数也就变了！

dw04116

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用毫米尺和千分尺去测量地球的直径（精确到米），得出的结果确实是一样的。

玉林

回复 6 # rogen 的帖子

此话在理

SandVNo2

多自由度结构振动和有限元只是自由度量的不同，有限元比多自由度更细化而已，本质是一样的

GGONG

1000和10000只是想描述“足够多”，如果是这样的话，玉林的进一步解释可以说明问题（对曲线积分，采用近似数值积分如高斯积分方法，高斯点越多，约精确，当然对多项式积分可以精确积分，所以“更精确”是到直到高斯点足够多为止）。但是有限元当中，有些问题根本就没有精确解，这时候，谈论“更精确”值得商酌。


有限元不一定是对的，相对精确解来说，有限元的解大部分是“不对的”，是近似解！从整体来说有限元给的场函数（如位移）解是真实解（如果有)的下限。

取决于选用的插值函数形式（包括结点数，单元类型等），质量矩阵（一致质量consistent mass matrix）和刚度矩阵可以分别不同（不固定）；如果这些定了，在线性有限元当中，K和M可以认为是固定的（非线性当然不可以这么简单）。在这里rogen指出玉林关于单元的类型的认识是对的。但是，要强调的是，同一个单元类型如梁，你可以选线性插值函数或2次型等函数（高阶，可以是2结点，3结点，4结点。。。），对有限元来说，都是不同的系统（最后[K]等都不一样），尽管它们都在“模拟”同一个物理“系统”。

有些问题有点混淆，也许这样说更好：多自由度结构振动可能可以用有限元来近似求解，也可能可以用解析方法来精确求解。两者有何不同？这个问题，我想跟静力问题中两者区别的解释差不多？只是在结构动力分析中，多了个时间变量，对t的处理我们也有不同的方法，如直接求解（无需求模态）和振型分解方法。也许，把问题更具体一点更好些，振型分解方法可以通过解析方法来解决结构动力问题。有限元也可以通过类似求模态，选用模态数（软件中设定就可以）等来解决结构动力问题。这两者的区别何在？这个问题其实主要的区别在于你通过什么方法得到[K]和[M]（甚至[C]),如果我简单说就是求[K]的区别的话，你可以回到静力问题中看结构力学求[K]与有限元求[K]有何不同（结构力学求[K]就是有限元的前身，另外，有限元可以通过变分和伽辽金求[K]). 现代观点认为伽辽金等加权余量法都属于变分（见Reddy 2003），但我们学习的话最好沿大Z的书，变分是传统意义上的对functional变分（=0）。

欧阳中华

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    GGONG “但是有限元当中，有些问题根本就没有精确解，这时候，谈论“更精确”值得商酌。...”

  针对上面这句话我是这样认为的，不能因为没有精确解就说更精确要否定，精确解可以认为是“真值”，“真值”一定是存在的，往往都是非常简单的问题可以解析得到，复杂问题不能建立相应的数学定解问题或不能求解得到的定解问题，那么通过数值方法也是可以不断“逼近”“真值”的，也就是所谓的“更精确”喽，为了这种目的从事数值方法的研究者不断挥洒汗水. . .

   

rogen

认识客观世界就是一个不断深入的过程，现在的精确，可能从将来来看，就是不精确，什么都是相对的，我相信我们能做到更精确，但做不到精确的，谁也不知道精确到底是什么！

GGONG

回复 11 # 欧阳中华 的帖子


我的前提（也即我指的有限元当中）是 微分方程 已经建立。但这个微分方程（加边界条件）不一定有解析解（closed-form），或者不一定处处有解。这种情况下，如果说“更精确”可能需要另外一些标准（数学上的标准还是物理上的，甚至哲学上的，如Rogen提及的？）


我指的精确并不是说反映客观世界的真实，而是客观世界已经被抽象到数学方程上来了（这在任何程度上都是近似的）。所以跟教授指的是两回事。当然如何更好地模拟真实世界和计算未来，是计算工程长久的目标。

PXMAX

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