求助大家 库伦阻尼的单自由度求解

haojik

请大神帮忙看看，这种非线性振动方程如何求解，m\ddot{x}+kx+Fr=F_{0}sin(wt)当速度大于0时Fr=-400N，当速度小于0时Fr=400N，其他参数数值都已知，精确求解最好，有没有相似的数学模型呢？

谢谢大家了！！！

hcharlie

你求解的目标是什么？将微分方程变为差分方程用数字解很好解。
给你起个头：
t=0;x=0;x1=0;x2=0;dt=0.1/w;
t=t+dt;   //时间
x1=x1+x2*dt;   //速度
if(x1<0) fr=400;else if (x1>0) fr=-400 else fr=0;     //库伦力
x=x+x1*dt;    //位移
x2=(f0*sin(w*t)-k*x-fr)/m;    //加速度
.................

haojik

hcharlie 发表于 2015-8-27 12:29
你求解的目标是什么？将微分方程变为差分方程用数字解很好解。
给你起个头：
t=0;x=0;x1=0;x2=0;dt=0.1/w ...

求解目标是求出最后的振幅，得到其与质量的关系。

haojik

hcharlie 发表于 2015-8-27 12:29
你求解的目标是什么？将微分方程变为差分方程用数字解很好解。
给你起个头：
t=0;x=0;x1=0;x2=0;dt=0.1/w ...

您给的dt的含义我不是很清楚，我想找到一个震动模型，比如可以算出等效阻尼，变为线性简谐振动，之后这类问题用等效阻尼计算，采用常规的方法，不知道可以吗？

Rainyboy

这是在算干摩擦吗？

hcharlie

dt 就是差分法的时间步长Δt，选得适当小就可以了。
非线性的特点就是（单位力的）振幅与力的大小是有关的。理论上其时域曲线并不是理想正弦波，但可以算出最大值当作是振幅，最大值时的频率叫做共振频率，它们和你想得到的等效阻尼也都是随力大小的不同而不同的。
我既然推荐了方法，你应该用不同的力的大小，改变频率，得到振幅，做出不同大小力情况下的幅-频曲线，画在一张图上，才能得到非线性系统的奥妙。
我的方法是费时的，要花费你几天功夫，但是是充分利用现代技术优势，也就是电脑的优势能做到的。
你想要的走近路省事的办法实际是不容易走通的。

haojik

Rainyboy 发表于 2015-8-27 19:10
这是在算干摩擦吗？

是啊 是算干摩擦

haojik

hcharlie 发表于 2015-8-27 19:13
dt 就是差分法的时间步长Δt，选得适当小就可以了。
非线性的特点就是（单位力的）振幅与力的大小是有关的 ...

好的 我试试 谢谢！

Rainyboy

这个模型相当于是一个单自由度振子在与地面有库仑布模型的干摩擦（仅考虑滑移）时的受迫响应。
关于这个问题在1933年就有文献给出解析解了，请见：
三篇早期文献：关于干摩擦阻尼器的解析/准解析分析方法
http://forum.vibunion.com/thread-102900-1-1.html

另外，如果想尝试纯数值积分求解，在采用hcharlie版主提供的方法时，可以考虑将库仑布阻尼模型光顺化，以免在计算中面临判断浮点数是否为零的困境。实际上这种处理方式在国际期刊的学术论文中也是被采用的，见：
库仑阻尼的一种有效处理：光顺化（SMOOTHING）  
http://forum.vibunion.com/thread-116379-1-1.html

PS，若论现代技术在干摩擦领域的state-of-art，当推各种以傅里叶变换为基础的半解析-半数值方法，如谐波平衡法和时/频转换法等。
这个可以找找相关的综述看一看就明白了。

纯粹的时序积分方法一般用于上述方法的检验或者教学，建议在使用时注意方法的稳定性。

hcharlie

苏联（俄罗斯）人研究解决科技问题，特别注重实际。
他在做了非线性系统的变力共振试验曲线以后，根据曲线的走向，很快的能判断出被试系统有干摩擦？有间隙？又有间隙又有干摩擦？间隙有多大？一目了然，非常直观，很快在现场解决实际工艺问题，有间隙排除间隙，干摩擦大了减小干摩擦，这两个是有矛盾的，取折中吧。这就是工程师的本领。
为什么苏联能首先发射人造卫星？我觉得这和他注重实际有关系。
工程师必须有很强的感性认识，我的建议对造就一名工程师是非常有用的。本人就有这种体验。

haojik

Rainyboy 发表于 2015-8-28 15:24
这个模型相当于是一个单自由度振子在与地面有库仑布模型的干摩擦（仅考虑滑移）时的受迫响应。
关于这个问 ...

谢谢 我好好学习下

wanyeqing2003

个人认为：在特定扰力条件下应该可以用粘性阻尼等效简化。
其实，粘性阻尼，结构阻尼，摩擦阻尼都是一种近似模型。
就看我们如何简化，如何分析。

我做过摩擦阻尼+杜芬弹簧的实例，试验和分析，发现了分叉现象。

zswseu

Rainyboy 发表于 2015-8-28 15:24
这个模型相当于是一个单自由度振子在与地面有库仑布模型的干摩擦（仅考虑滑移）时的受迫响应。
关于这个问 ...

解析解比较考验数学功底，不知道有没有用电脑推公式这方面的程序。。。

旧言虐心

zswseu 发表于 2015-8-30 10:58
解析解比较考验数学功底，不知道有没有用电脑推公式这方面的程序。。。

maple，mathematica，mathCAD等就有类似功能，只是还没有强大到能够完全替代人的地步