浅析结构屈曲模态和振动模态间的区别

weixin

首先先说一下屈曲，屈曲其实就是结构在材料未达到其极限强度就无法继续提供承载能力，可以理解为在那个时刻，结构强度还有富余，但是刚度裕度已经没有，只需要很小的扰动，其变形就会迅速增大，最后结构已经不能完成预期的目标。

引用sap2000说明书上的一段话：屈曲也是稳定，其可以分为两类：

1. 分岔失稳，这是一种理想的情况，即达到某种荷载时除结构原来的平衡状态存在外，还可能出现第二个平和状态，在数学上是一个求特征值问题，也叫特征值屈曲，这类结构失稳的荷载也叫屈曲荷载。

2. 极值失稳，结构到失稳状态时，变形将迅速增大，这里面也包含所谓的跳跃失稳，（跳跃失稳可以想象你按压易拉罐的罐壁，其会在凹下去后达到新的平衡位置，但是由于这样的失稳，其位移跳跃太大，往往也就归结于破坏）。我们这里说的是第一类失稳！

模态分析在这里就不做详细介绍了！

先从计算公式来看看它们的区别：

特征值屈曲：

其中：K为结构材料刚度矩阵，K(r)为输入荷载下的结构几何刚度矩阵，λ为屈曲因子，U为和每一个λ对应的特征向量矩阵，也就是屈曲模态。

振动模态分析：

其实就是求一个无阻尼自由振动结构的周期和振型。其中无阻尼自由振动方程为：

这个方程的周期振型就是一也特征值方程（特征向量法）：

其中：K为结构材料刚度矩阵，M为结构质量矩阵，ω为结构频率，U为每个结构频率对应的振型向量。

两者的相同点：

• 都是求特征值问题
• 这个方程都有多解，也就是都有所谓的阶数之分
  
  

两者的不同点：

模态分析和结构的质量有关，和外荷载无关，其形状曲线是一个位移比例关系。屈曲分析与外荷载有关和质量无关，其形状曲线是真实荷载下的移位。

总结：

一个是特性，一个状态。

以下转自网易博客“就这样看着星空”：

再谈模态分析——特征值向量法和ritz向量法

不论是特征值向量法还是RITZ向量法都是为求解我们之前提到的动力平衡微分方程服务的，他们的主要作用是解耦动力微分方程。属于对耦合线性结构的模态方程进行解藕的两种方法。

所谓解耦是指使含有多个变量的数学方程变成能够用单个变量表示的方程组，即变量不再同时共同直接影响一个方程的结果，从而简化分析计算。通过适当的控制量的选取，坐标变换等手段将一个多变量系统化为多个独立的单变量系统的数学模型，即解除各个变量之间的耦合。

特征值向量法是通过求解特征值方程，将无阻尼结构体系分解为若干阵型，即将多质点结构体系各个质点原本耦合的运动性质解耦，分解为结构的各个阵型的形式，而后将这些阵型向量进行组合即可获得各种运动形态。这一点很想傅里叶变换的作用，把原本复杂的函数分解成为简单三角函数的线性组合。解耦后动力方程求解可以针对每一种阵型进行，然后按照概率论原理进行叠加，获得最大地震反应。这就是振型分解反应谱法的基本原理。

ritz向量法，又称为LDR法。这种方法进行考虑了动力荷载的空间分布。它动力方程右侧的外荷载改写为一个空间静力荷载向量乘以一个时程函数，又将这个时程函数进行傅里叶变换，成为基本的三角函数的线性组合，以此简化动力方程的求解。

特征值向量法存在一个缺点就是不能考虑与荷载相关的阵型。这样就造成对于某些大型的结构体系，很多求解出来的阵型与荷载正交或者不参与动力响应，导致反应谱分析时质量参与系数不足的现象。LDR方法可以弥补这一缺陷。

另外，特征值向量发一般会截断高阶阵型，造成截断误差。LDR则不截断高阶阵型，对于某些高阶阵型敏感的结构显得尤为重要。

最后，再提一点个人看法，欢迎探讨。如果模态分析仅仅是看结构自振特性我建议还是采用特征值法分析，而不是LDR法。我认为，前者反应的结构自身的震动特性，而后者是荷载相关的。

本文来源于新浪kane0509的博客，封面图片来源于e-works