自激振动的机理、特征及极限环的基本概念

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　　自激振动

　　自激振动的机理
　　所谓的自激振动是系统内部的非振动的能量转换为振动的激励而产生的振动。

　　对于自激振动可以做如下的物理解释：

　　存在一个与系统有关的外部恒定的能源，自激振动靠系统外部的来源补充能量，使运动的系统与恒定能源之间产生交变力，这个交变力在运动方程中体现为阻尼项。当系统振动较小时，方程中的阻尼项成为负阻尼，使系统周期性地从恒定能源吸收能量而使运动增长;当运动增长到一定程度，方程中的阻尼项成为正阻尼而使运动衰减。当系统在一个周期内损失的能量和吸入的能量相等时，系统呈现稳态的周期运动。这种的稳态周期运动就称为自激振动，或简称自振。

　　线性系统不可能产生自激振动，能产生自激振动的系统必为非线性系统。前面介绍的范德波方程和瑞利方程所代表的振动都属于自激振动。

　　自激振动与保守系统的自由振动不相同。保守系统的自由振动的振幅由初始条件确定，而自激振动的振幅与初始条件无关，它决定于系统本身的参数。

　　自激振动由于能源恒定而不同于强迫振动。系统依靠自身运动状态的反馈作用调节能量输入，以维持不衰减的持续振动。也就是说，在自激振动中，外界恒定的能源给予振动系统的交变力是由运动本身产生或控制的，运动一旦停止，交变力也随之消失。而在强迫振动中，交变力是由外部能源独立产生的，它不依赖于运动，即使运动消失了，交变力仍可存在。这样，强迫振动的频率完全决定于外加激励频率，而自激振动的频率则很接近于系统的固有频率。

　　自激振动的特征
　　  1、振动过程中，存在能量的输入与耗散，因此自振系统为非保守系统。

　　  2、能源恒定，能量的输入仅受运动状态，即振动系统的位移和速度的调节，因此自振系统不显含时间变量，为自治系统。

　　  3、振动的特征量，如频率和振幅，由系统的物理参数确定，与初始条件无关。

　　  4、自治的线性系统只能产生衰减自由振动，无耗散时也只能产生振幅由初始条件确定的等幅自由振动。因此自振系统必为非线性系统。

　　  5、自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关系。若振幅偏离稳态值时，能量的增减能促使振幅回至稳态值，则自激振动稳定(图1-a)。反之，自激振动不稳定(图1-b)。

　　极限环概念

　　自激振动是稳态的周期性运动，所以它在相平面上的相轨线构成一条封闭的轨迹，相平面内的封闭相轨迹与实际系统的周期运动相对应。保守系统在稳定平衡位置附近的等幅自由振动对应于相平面内围绕中心奇点的封闭相轨迹族，在密集的封闭相轨迹族中，实际相轨迹的振幅由初始运动状态确定。

　　自激振动是一种特殊的周期运动，它的振幅和频率由系统的物理参数唯一确定，与初始运动状态无关。

　　因此自激振动在相平面内的相轨迹是孤立的封闭曲线，庞加莱(Poincare￠)称此闭轨迹为极限环。

　　在封闭曲线周围布满了螺线型的相轨迹逐渐地趋近极限环，它们或者盘向极限环，或者盘向奇点。

　　极限环又有稳定的和不稳定之分。如果极限环两侧的相轨线都趋近于它，既当相点由于扰动偏离极限环后，即沿新的相轨迹运动，若扰动后的相轨迹仍渐近地贴近极限环，则称极限环是稳定的如图2中的M2。

　　反之，若扰动后的相轨迹远离极限环，其中只要有一侧的相轨线是离开极限环的，则这样的极限环称为不稳定的，如图2中的M1和M3。

　　不稳定的极限环是实际系统不能实现的运动，它是用几何作图法画不出来的。稳定的极限环对应于系统的稳态周期运动，即自激振动。

　　自激振动在各种技术问题中占有极重要的地位，因此确定极限环的存在及其稳定性就成为非线性自治系统理论中的一个重要问题。从上面的定性分析可知，极限环的存在是明显的，但是对于一个给定的系统要想从理论上证实极限环的存在并具体地找到该极限环却是困难的。在很多情况下，问题的解决还是要借助于图解法。

　　van der Pol方程

　　一个具有极限环系统的经典例子是范德波振子。这个例子可以说明极限环的一些性质。

　　范德波振子是由下面的微分方程所描述，即

　　上式可认为是一个具有可变阻尼的振子。确实，μ(x2-1)这一项可以看成一个与振幅相关的阻尼系数。对于|x|<1这个系数是负的，而对|x|>1它是正的。因此当运动在|x|<1的范围内时负阻尼有助于增加振幅，而当|x|>1时正阻尼有助于减小振幅，所以预期会有极限环而且确实得到了极限环。

　　令

　　则上式可以用两个一阶微分方程来代替，记为式(1)：

　　显然，原点是一个平衡点。为了了解这个平衡点的性质，列出下面线性化系统的系数矩阵

　　它导致特征方程

　　有根

　　当μ>2时根λ1与λ2都是正实数，所以原点是不稳定结点。另一方面，当μ<2时根λ1与λ2是具有正实部的共轭复数，所以这个原点是不稳定焦点。不管怎么样，原点是不稳定平衡点，而在它邻域内开始的任何运动趋向于离开这个邻域而达到极限环。

　　为得到轨迹的方程，把式(1)的第二式除以第一式，结果有

　　要求得上式的一个封闭解是不可能的。

　　轨线可以用某种图解方法来求得，例如用等倾线法，或者用计算机摸拟。图3给出了对μ=0.2和μ=1.0的值用计算机摸拟求得的极限环。

　　从图3显然可见极限环的形状决定于参数μ。事实上，当μ→0极限环趋于一个圆。因为所有轨迹不论从外面或从里面都趋近于极限环，所以这极限环是稳定的。

　　注意到，当μ<0时得到的是一个不稳定极限环，而这个极限环是轨道不稳定的;当μ>0时则是轨道渐近稳定的。

　　可见，一个稳定的极限环包围一个不稳定平衡点，而一个不稳定极限环包围了一个稳定平衡点。

　　最后，必须指出，对于呈现有极限环的系统，在其原点周围用线性化分析是不适当的。

　　对于μ>0的情况线性化分析会判定不稳定，其运动要无限增大。控制振幅大小的是非线性，即 。在这种情形，恰当的线性化必须在极限环的附近，这样会得出一个带有周期性系数的线性系统。


　　来源：声振之家公众号整理自《非线性振动》
　　作者：刘延柱，陈立群