非线性转子动力学的主要特征和研究方法概述

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　　分解开的CF6发动机核心部分，包括低压转子和高压转子

　　转子动力学是研究旋转机械动力学问题的一门新兴的学科。像其它许多学科一样，就其本质而言，转子动力学问题绝大多数都是属于非线性的。常规而言，我们往往将非线性问题简化为线性问题进行研究，但在许多情况下用线性化方法研究非线性问题，不仅会有量的误差，而且很可能产生质的错误，因此用非线性理论研究转子动力学问题成为一项十分迫切的任务。

　　非线性系统与线性系统相比有着本质上的区别，主要表现在：

　　(1) 恢复力为非线性时，系统的固有频率与振幅有关，而线性系统固有频率与振幅无关。

　　(2) 非线性系统的强迫振动会出现跳跃和滞后现象，振幅和相位均有可能发生跳跃现象。

　　(3) 在非线性系统中，由简谐激励引起的强迫振动，不仅有与激励周期相同的振动，而且有等于激励周期整倍数周期的振动。因此对一个单自由度非线性系统作用一个简谐激励，可能出现多种共振状态。而线性系统的强迫振动只能出现与简谐激励周期相同的共振状态。

　　(4) 线性叠加原理不再适用，除非在很强的限定条件下。非线性系统方程的解，不再像线性系统那样，由各个特解叠加而成。因此求非线性系统的全解变得十分复杂。

　　(5) 非线性系统中可能会出现自激振动。在线性系统中自由振动总是衰减的，严格的周期运动只可能是在周期激励下的强迫振动。而在非线性系统中，即使存在阻尼，也可能有稳定的周期性的自由振动，其能量的损失可由该系统的输入能量得到补偿，这也是自激，振动的本质。由于线性叠加原理已不再适用，所以应对所有的激励源同时进行考虑。在参数空间的某些区域可能存在多个解，每个解的稳定性也可能各不相同，当系统的参数发生变化时，可能产生跳跃现象或者解的分岔。

　　(6) 混沌运动是非线性系统的又一个特性。混沌学这门新兴学科，自20世纪60年代开始在国际上兴起并形成以来，在短短三四十年中得到迅速发展，被喻为继相对论、量子力学之后的又一重大发现。迄今为止，对转子动力学中混沌现象的研究尚未十分透彻。

　　非线性动力系统研究一般可分成定性分析法和定量分析法两种，二者的奠基人都是法国的Poincaré。

　　(1) 定性分析法，又称几何法或相平面法，由Poincaré首先提出，它研究的是方程解的存在性、唯一性及周期解的稳定性等。该法是在相平面上研究周期稳态解或平衡点的相图性质，从而定性地确定解的性态。定性分析方法，如等倾线作图法、点映射与胞映射法等，对于研究单自由度非线性振动方程较为有效，但对轴承一转子这种高维非线性动力系统，因其相空间维数较高，难以得到满意的结果。

　　(2) 定量分析法：它研究的是如何求出方程的精确解或近似解，近九十年发展得很快。但由于各种转子系统振动的非线性微分方程类型的多样性，因此目前无法找到一种普适方法，只能在不同的方程中采用不同的解析或近似分析方法，如：

　　研究具有确定性系数的弱非线性动力系数周期解的经典研究方法：摄动法(小参数法)，平均法(KB法)，KBM法(渐近法)，多尺度法等;

　　研究单自由度强非线性动力系统的渐近解的方法：广义的平均法，区域平均法，椭圆函数法，时间变换法，参数展开法，频闪法，增量谐波平衡法等;

　　研究多自由度系统的分析方法：改进的平均法，多频摄动法，以及各种方法的综合运用等;

　　研究参数激励的非线性动力系统的响应、分岔和混沌问题的常用方法：平均法，多尺度法，广义谐波平衡法，以及LS(Lyapunov一Schmidt)法，奇异性理论，中心流形理论，PB(Poincaré-Birkhoff)范式(Normal Form)理论，幂级数法，数值计算法等。


　　用解析方法求非线性方程的精确解，一般仅对少数特殊的两个自由度以下的非线性方程有效。而对于多数的四自由度以上的系统除了数值积分法以外，还没有更好的分析方法。

　　数值分析方法是目前应用比较广泛的一类定量分析方法，包括：

　　(1) 以数值积分模拟为基础的各种初值方法;

　　(2) 求解周期性边值问题的各类数值方法，如打靶法(试射法)、差分法、谐波平衡法、PNF(Poincaré一Newton一Floquet)法等;

　　(3) 近年来发展的各种全局分析方法，如点映射法、胞映射(Cell-to-Cell Mapping)法、Poincaré胞映射(PCM)法、连续胞映射法等。相对于解析方法，数值分析方法具有适用性广、精度高等优点，日益受到人们的重视，在非线性研究中的作用越来越大，是目前非线性转子动力系统最主要的研究方法。

　　本文内容摘录整理自复旦大学硕士学位论文《多跨转子-轴承系统标高问题研究》，作者：夏志鹏，指导老师：郑铁生。