快速傅里叶变换 (FFT)

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　　在音频和声学测量领域，“快速傅里叶变换”(FFT)是一个非常重要的测量方法。它能将一个信号转化为频谱分量，从而得出关于该信号的频率信息。FFT方法通常适用于对机械或某个系统进行缺陷分析，品质控制以及状态监测等。这篇文章将解释FFT如何运作，并介绍相关参数和其对测量结果的影响。

　　严格来说，FFT是对“离散傅里叶变换”(DFT)的优化算法实现。信号在一个时间段内被采集并分离出频率分量。这些分量在不同频率各自都是正弦振荡波，有自己的幅度和相位，转换过程可以用下图来示意。在所测量的时间内，信号包含了三个不同的主频。

　　信号在时域和频域的视图

　　信号的一部分被扫描并存储起来用于后处理，这里有两个相关的参数：

　　  · 测试系统的采样率或采样频率fs（如48kHz），这是一秒内获取的样本平均数量（每秒钟样本数量）；

　　  · 选定的样本数量，块长度BL，在FFT中总是2的整数幂（如210=1024样本）。

　　从fs和BL这两个基础参数，可以确定更多的其它参数。

　　  · 带宽fn（=尼奎斯特频率）：这个值表示FFT能测得的理论最大频率：fn=fs/2。比如采样率为48kHz时，理论上能得到的最大频率分量就是24kHz。对于模拟系统来说，由于模拟滤波器的存在，实际测得值通常都或多或少小于理论值，比如说只测到20kHz。

　　  · 测量周期D：测量周期可由采样率fs和块长度BL计算：D=BL/fs。在fs=48kHz且BL=1024时，周期即为1024/48000Hz=21.33 ms。

　　  · 频率分辨率df：频率分辨率表示两个测量结果间的频率间隔，df =fs/BL。在fs=48kHz且BL=1024时，分辨率即为48000Hz/1024=46.88Hz。

　　实践中，系统一般都会提供多种可选的采样率。然而，一旦块长度BL确定，测量周期和频率分辨率就确定了，可能出现：

　　  · 较小的块长使测量循环更快但频率分辨率较粗；

　　  · 较大块长会使测量更慢但得到更好的频率分辨率；

　　同一信号在较小块长和较大块长下的FFT测量结果

　　傅里叶变换中，是假设采集的信号周期性无限重复的，这就带来两个结论：

　　  · FFT只适用于周期性信号；

　　  · 采集的信号段必须包含了一个完整周期。

　　可以看出，第二个结论只有少数信号能满足。如果对一个频率不是df的整数倍的信号采样，则在含2n个样本的块内，其将以不同的值开始和结束。这就导致时域信号的跳变，和FFT频谱的“弥散”，也称泄露。

　　未加时间窗的信号会产生频谱弥散

　　为了阻止这种弥散，实践中会对信号样本应用“窗口”。使用一个加权函数，信号样本或多或少会更平缓的开关。这样采集到的和之后的“加窗”信号即以幅值零开始和结束。现在，样本就无需经过复杂的转换而周期性重复。

　　加窗时域信号和频谱

　　正如以上内容所说，测量系统的采样率和块长度BL是FFT的两个核心参数。采样率表明了扫描待分析信号的速率。比如说，商用级计算机声卡录制.WAV格式音频时一般每秒采集44100次。

　　奈奎斯特定理：
　　Harry Nyquist（哈里·奈奎斯特）发现了模拟信号采样的一个基础理论：采样率必须至少是信号最高频率的两倍。例如，要对一个最高频率为24kHz的信号采样，采样率就至少要达到48kHz。采样率的一半，本例中就是24kHz，被称为“奈奎斯特频率”。

　　混叠：
　　如果输入系统的频率高于奈奎斯特频率会怎样呢？大多数时候，对信号的采样数量绰绰有余。在48kHz采样率下，6kHz频率的信号每周期被采样8次，而12kHz的信号就只能采样4次。

　　在奈奎斯特频率，每周期就只能采集两次信号。有不少于两个采样的情况下，要无损的重建信号还是可能的。但如果样本不到两个，生成的信号中就会包含原始信号中不存在的杂余信号。

　　镜像频率：
　　在FFT中，此类杂余的人工信号以镜像频率的形式出现。如果超出奈奎斯特频率，信号将被设想出的极限反射，回弹到有用频带上。这些讨厌的镜像频率在扫描前被一个模拟低通滤波器（抗混叠滤波器）过滤了。这个滤波器确保高于奈奎斯特频率的部分被抑制。

　　时间窗：
　　在周期性重复的信号案例中，时间窗用来平缓扫描结束时的跳变。这能阻止频谱中的拖尾效应。窗口的类型繁多，有些只有很小的差别。在选择时间窗时要清楚：每个窗口在频率可选择性和幅值精度之间都有妥协。

　　频谱平均：
　　在分析非周期性信号，比如噪声或音乐时，捕捉多个FFT块并据此确定平均值总是有益的。有两种可能的方法：

　　  · 经典平均：测量多个FFT，每个结果都在最后的平均结果中有相同的权重，这个方法适用于时间定义好的测量；

　　  · 指数平均：持续测量FFT，这里同样的也要考虑确定数量的FFT结果。然而，计权却与结果的“年龄”成反比。最早的测量对结果的贡献最小，最近的测量对平均结果影响最大，指数平均适用于长期持续监测频谱。

　　功率vs.峰值检测：
　　现代的高分辨率FFT分析仪具备通过FFT块长度对测量结果数量解耦的能力。这样一来也会让测量时间变长，尤其是对高分辨率FFT。因此，举例来说，对于一个2MB的块长，就没有必要测量和显示超过一百万个点(bins)，只需足够用于显示的点数即可，如1024个。

　　确定每个FFT点(bin)值的方法有两种：

　　  · “最大峰值”：此处用的是FFT结果中的最大值，这个方法非常适用于FFT的可视化显示；

　　  · “功率”：这时计算FFT结果总和并按能量平均，当FFT用于计算时这个方法很有必要。

　　FFT结果的计算：
　　FFT主要用于让信号直观且可视。不过，也有一些应用中FFT结果是用来做计算的。比如，通过RSS（和的平方根）算法可以计算确定频带的极简电平。

　　另一个应用是频谱对比。下面范例中为一个电动螺丝刀的声学测量结果。测得结果减去参考频谱得到偏差。再将该差值与预设的上下限对比。其中上图频谱显示螺丝刀正常工作，下图的声学频谱则表明测试样本有缺陷。

　　信号原理中的经典范例就是方波信号的频谱分量，包含了所有基波频率加权奇数倍之和。

　　来源：声学测试小角落微信公众号（ID：Acoustic_Corner），原文来自NTi Audio官网。