信号时域处理——相关性分析

weixin

在信号分析中，相关是一个非常重要的概念。所谓相关，就是指变量之间的线性联系或相互依赖关系，变量之间的联系可通过反映变量的信号之间的内积来刻画，设信号x(t) 和y(t)，它们的内积可写成：

式中，T 为信号x(t) 和y(t) 的观测时间。显然，如果信号x(t) 和y(t) 随自变量时间的取值相似，内积就越大，反之亦然。

因此，通过上述做内积的式子可定义信号x(t) 和y(t) 的相关性度量指标。另外，实际中将信号y(t) 移动时间τ，得到y(t+τ)，然后再计算x(t) 和y(t+τ) 的相关性。考虑积分段的影响，这时信号x(t) 和y(t+τ) 的相关性指标可写成：

式中，T 为信号x(t) 和y(t) 的观测时间，τ 为信号的滞后时间，R(τ) 是τ 的函数。

自相关分析

为了反映信号自身取值随自变量时间前后变化的相似性对于信号x(t) 而言，其自相关函数可以表示为：

式中，τ 为自相关函数的时延量；T 为信号周期。对信号进行自相关分析，就是对信号x(t) 延迟时间τ 后的信号x(t+τ)，然后对x(t) 和x(t+τ) 做卷积计算，所得结果即为x(t) 的自相关函数，自相关分析原理流程图如图1所示。

图1 自相关分析原理流程图

1. 时域自相关分析工程用途
降噪：
在信号分析与处理中，自相关函数良好的降噪特性已广泛得到应用。普通周期信号经过自相关处理后，原信号中各种特征信息仍很好地保存在自相关函数中，并没有太多能量损失，而普通噪声信号自相关函数在时延接近于零时有很明显的峰值特征，随着时延的增大，其自相关函数很快趋于零。

在实际工程应用中，采集信号一般是故障振动信号与噪声相混合的信号，通常表示为：

式中，y(t) 为混合信号；x(t) 为故障特征信号；n(t) 为噪声信号，且x(t) 和n(t) 相互独立，因此上式的自相关函数为：

因此，时延较低部分主要是噪声自相关函数Rn(τ)的峰值特性；在时延较高的部分，保存了故障信号的基本信号特征，而噪声能量散失十分厉害，主要是自相关函数Rx(τ)成分。由于低时延时噪声自相关函数所占比重较大，剔除此部分以获得滤噪能力较好的自相关部分，从而实现降噪。

故障诊断：
自相关函数是随机振动信号分析中一个很重要的参量。自相关函数曲线的收敛快慢在一定程度上反映信号中所含各频率分量的多少，反映波形的平缓和陡峭程度。工程实际中，常用自相关函数来检测随机振动信号中包含周期振动成分。在用噪声诊断机器运行状态时，正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。当机器状态异常时，随机噪声中将出现有规则、周期性的信号，其幅度要比正常噪声的幅度大得多。例如，当机构中轴承磨损间隙较大时，轴与轴承盖之间会有撞击现象；再如，当滚动轴承的滚道出现剥蚀、齿轮啮合面出现严重磨损时，随机噪声中会出现周期信号。用噪声诊断机器故障时，依靠自相关函数Rx(τ) 就可在噪声中发现隐藏的周期成分，确定机器的缺陷所在。特别是对于早期故障，周期信号不明显，直接观察难以发现，自相关分析就显得尤为重要。

2. 自相关分析实例
下面是一个正弦信号做自相关分析，图2—图5给出了几种常见信号的自相关函数，从图中可以看出，信号中周期性分量在相应的自相关函数中不会衰减，因此，自相关函数可从被噪声干扰的信号中找出周期成分。

图2 正弦信号时域图形

图3 正弦信号自相关函数

图4 正弦信号加噪声

图5 正弦加噪声信号自相关分析

互相关分析

根据前面所讲的相关性的定义可知，随机信号x(t) 和y(t) 的互相关函数可定义为：

式中，T 为信号x(t) 和y(t) 的观测时间。对信号进行互相关分析，就是对信号y(t) 延迟时间τ 后的信号y(t+τ)，然后对x(t) 和y(t+τ) 做卷积计算，所得结果即为x(t) 和y(t) 的互相关函数，互相关分析原理流程图如下图6所示。

图6 互相关分析原理流程图

互相关函数的大小直接反映两个信号之间的相关性，是波形相似的度量。互相关分析在实践中有着广泛和重要的应用，常用于识别振动信号的传播途径、传播距离和传播速度及进行一些检测分析工作。例如，可在噪声背景下提取有用信息，系统中信号的幅频、相频传输特性计算，速度测量等。

参考文献：
盛美萍，杨宏辉振动信号处理[M]，电子工业出版社，2017

来源：声振测试微信公众号，作者：于长帅。