汽轮发电机组模态振动分析

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一、模态振动基本概念

物体的每种结构（材料属性、形状、支撑方式）都有它固有的振动频率，这样的频率都和特定形式的振动联系在一起。当某一结构的共振频率被激活时，将表现出一种振动的形态，称为振动模态。本文主要讲述汽轮发电机组振动模态，是实施柔性转子模态平衡的理论基础。转子动力方程描述了转子基本动力学行为，描述了转子固有频率表达式。

该表达式具有单一集中的质量、刚度、阻尼和λ 值参数，也即是唯一的固有频率。但实际的转子结构系统具有连续分布的参数，这些参数分布系统在理论上具有无穷多个固有频率及相应的振动模态。模态的最大数量受制于自由度的数量，比如一个不受任何约束的结构体，在刚性模态中存在3个平移和3个旋转自由度，也就表现为6个刚性振动模态及无数个柔性模态。

转子系统这一复杂、某一模态被激发后的偏转形状，称为转子的振型，振型描述了沿转子系统轴向分布的振动振幅和相位，它随速度的变化而变化，振型激发幅度值是转子的质量、刚度、阻尼和λ 分布及转子不平衡量分布的函数。

二、基本转子模态振型

所有机械振动系统都具有固有频率的振动，这些固有频率可通过对系统在其平衡位置瞬间干扰而激发。如果系统为欠阻尼型，则将以一个或多个固有频率振动，直到初始输入能量衰减。由于系统不会持续受迫，因此这种振动称为自由振动，比如现场为测量叶片静态固有频率而进行的敲击。

汽轮发电机组属于两端由轴承支撑，连续质量分布在轴承之间的振动系统，目前的汽轮发电机组大多运转在一二阶之间，部分发电机转子运转在二阶固有频率之上，尤其激发较低模态下的共振需要的能量也较低，激发高频模态则需要高的能量，由此需要我们关注汽轮发电机组转子前三阶振型。其有限元分析模型前三阶振型如下图所示。

(a)转子一阶振型；(b)转子二阶振型；(c)转子三阶振型

图1 两端轴承支撑转子前三阶振型

转子系统将连续系统（包括转子本身）与集中质量系统的特性相结合，其中转子和支撑系统（包括轴承座、基础与轴承座连接的管道）的运动与大型集中质量类似。另外重要的一点，对于最低阶固有频率低于转子工作转速的柔性支撑系统，支撑系统最低阶固有频率将被来自于转子的激振力激发。

图1中可见旋转的挠性转子以一种复杂的、三维形状发生变形，称之为振型。在系统中振动模态与所有耦合部件的连续振动有关，转子、轴承座、基础、附加管道等。由于转子与支撑系统刚度和阻尼彼此耦合，因此转子与支撑系统同时振动，轴承座可将振动传递到其余的扩展系统，同时轴承座也将振动传递到转子。

“振型”可以指转子支撑系统的振动，称之为“系统振型”。转子振型是整个系统振型的一部分，每个转子和支撑系统的振型均与固有频率有关，该频率包括整个系统的频率。

旋转的转子并在空间振动（进动）时，会在轴承中产生一组旋转反作用力，支撑系统将会动态响应该旋转力。由此转子刚度与支撑系统刚度之比对于振型影响更大，对于刚度比较低的振动系统，比如汽轮发电机组高中压转子系统，支撑系统极大限制轴承处的转子运动，振动大多通过轴的弯曲产生，表现为较大的转子振动和较小的轴承座振动；刚度比较高的振动系统，比如汽轮发电机组低压转子和发电机转子系统，支撑系统为柔性或接近柔性，转子则可能会表现出刚性行为，表现为较小的转子振动和较大的轴承座振动。

(a)刚度比较高的振动系统；(b)刚度比较低的振动系统

图2 刚度比差别下的振动模态

三、受迫振动下的多模态响应

上文描述均为转子的自由振动，但运转的转子多承受强迫激振力。次同步受迫振动来自于流体失稳（汽流激振、油膜涡动及振荡）、摩擦效应等；超同步受迫振动来自于转子横截面刚性不对称造成的参数振动（如二极发电机转子结构刚度不对称、转子裂纹）、摩擦效应、电磁激振等。

转子激励中最主要的转子旋转不平衡，是转子的同步强迫激励源。不平衡在转子轴向的分布产生一个激发固有频率的轴向分布力系，该力系的形状与振型相似。任何一阶模态振型被激励的程度由不平衡分布形状，与该振型的相符度以及不平衡量的大小有关。如果有一定质量不平衡轴向分布力系形状类似于图1中的一阶振型形状，当转子转速与一阶固有频率相等时，将强烈激发转子不平衡共振，其共振下的振动形状类似于图1中的一阶模态振型，常见的汽轮发电机组在最低阶临界转速下的振动被激发后的振型即是如此。

转子振动系统的受迫振动的振型将受其固有振型控制，转子速度增加到超过共振转速时，振幅将下降到残余振级，如果不平衡分布符合下一级更高的固有频率，随转速继续升高，下一个模态将受到强烈激励。如果转子不平衡轴向分布形状与某一阶模态振型形状并不相符，即便不平衡质量较大，也不会激励该模态或者激励较小。转子不平衡轴向分布与固有模态响应如下图。

图3 转子不平衡分布与模态响应

模态振型对不平衡分布形状的激励响应，是实施模态平衡最重要的理论基础，是实施加重与某一阶模态实现正交的物理概念。

四、模态参数

一个模态的固有频率表达式

式中，K 是轴弹簧刚度、支撑系统刚度的组合，M 是转子质量。

这一表达式如果应用到系统较高模态的固有频率，显然式中K 必须变大或者M 必须变小。

滑动油膜轴承中，弹簧刚度、阻尼D 和λ 均为偏心率的非线性函数。因此，静态径向载荷（影响平均偏心率）和转速（影响振幅和动态偏心率）将引起K 和D 的变化，也会引起λ 的变化，其变化将改变系统的有效阻尼D(1-λ)。

与以上偏心率变化对K、D、λ 值的影响相比，更重要的是转子振型，其将直接影响转子运动中有效的刚度、阻尼和本身的质量。一个简单的振动系统包括弹簧的势能与运动质量体的动能之间连续循环的能量，质量体的速度为零时，系统的所有能量以势能的形式存储在压缩的弹簧中，弹簧势能达到最大；质量体的速度达到最大时弹簧势能为零，系统的所有能量在平衡点被存储为质量的动能。这两个能量存储元素K 和M 之比决定了系统的固有频率。

转子为一个比较复杂的机械振动系统，系统中的能量将在轴偏转（弹簧）的势能与轴运动的动能之间转换。轴的偏转形状将影响能量存储的偏转程度。

静止状态下的转子类似于两端支撑的简支梁，如图4。这种支撑方式具有一个适应在跨中施加静挠度力的有效刚度，它与长度的立方成反比。

图4 转子模态刚度

图4的下图中，梁的弯曲形状类似于转子二阶振型形状，该振型在中间有一个节点无振动偏转，相当于在梁的中间具有一个防止梁偏转的铰接。此时，引起梁偏转的力作用在1/2L 的梁位置变为1/4。L 的缩短使梁的有效刚度大大增加，因此二阶模态的转子有效刚度远大于一阶模态的有效刚度。

只有用于储存动能的的转子质量才是有效参与到振动的质量（参振质量），图4上图中梁中心附近的转子质量运动幅度最大，越靠近两端，转子运动质量越小，直到在顶端被限制。图4下图中梁中间节点位置的质量无法移动，此模态总的运动质量必然小于一阶模态的运动质量。因此，二阶模态的转子有效质量小于一阶模态的有效质量。

由此在二阶模态下因节点数的增加使有效刚度K 增加，有效质量M 减小。模态的固有频率得到一个更高的固有频率，这也即是对更高阶固有频率的表达。

转子系统中阻尼主要来自于滑动轴承，阻尼力取决于转子中心线运动速度。如果转子在轴承中振幅A 较大，则振动速度值v=AΩ 将较大，阻尼力Dv=DAΩ 也会相对较大。因此，相对振动（轴振）较大的轴承具有较高的阻尼力，具有较高的切向动力学刚度和较低的同步放大系数。大多汽轮发电机组为柔性转子，在轴承中具有处于相对接近轴承位置的节点，所以振幅相对较小，具有较小的阻尼力，这类转子往往具有较低的切向动力学刚度和较高的同步放大系数，并在波峰位置伴随剧烈振动。

目前汽轮发电机组启机仍有采取“快速冲临界”的做法，并被很大一部分人认可，这是极端错误的一种方式。由前文所述，欠阻尼型油膜轴承具有非常大的同步放大系数，在波峰位置因较大的振幅，除会使转子本身产生过大拉压应力外，还极有可能使动静间隙消失发生剧烈的动静碰磨，将对汽轮发电机组转子产生灾难性的后果。

来源：深圳昱升振动科技有限公司微信公众号（ID：YUSHENGZHENDONG），作者：郭孟磊。