波动方程，了解下！

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声学基础上关于声学波动方程的推导，来自理想流体媒质的三个基本方程，运动方程、连续性方程和物态方程（绝热过程）。而关于流体力学也有三个方程，分别是质量守恒方程、动量守恒方程（N-S方程），以及能量守恒方程。事实上，在绝热过程中，小扰动下的流体方程也可以推导出声学方程。

质量守恒：
  · Euler观点推导：单位时间内穿过界面S 流出的质量，等于单位时间内体积V 内质量的减少；

  · Lagrange观点推导：体积V 内流体质量在运动过程中不变

根据雷诺运输定理，上述两种关系是等价的：某时刻体积V 内系统总物理量的时间变化率，等于该时刻V 空间区域内物理量的时间变换率与单位时间内通过V 空间区域边界的物理量的净通量之和。

动量守恒 (N-S方程)：
  · Lagrange观点推导：体积V 内的总动量随时间变化率等于总体积力和总面力之和。

  · Euler观点推导：体积V 内的动量变化与流出体积V 的动量变化率之和等于总体积力和总面力之和。

同理，根据雷诺运输定理，上述两种观点也是等价的。

能量守恒：
这里引用一个表述：内能 (internal energy) 和动能 (kinetic energy) 之和随时间变化率等于外力功率和热交换功率之和。

根据动量守恒：动能变化率+应力功率 = 外力功率

结合上两式，并将应力展开，去掉积分符号

第一项和第二项是空间内总内能随时间变化率，第三项是传导热和辐射热，右边第一项是应力，右边第二项是外部热源。

上面方程通过热力学方程转化：

这里需要注意下，这边的内能E 跟热力学中常用的内能符号U 是同一个物理量吗？

我认为内能E 等价于热力学中的Q，因为压力做功已经包含在应力项中。

根据热力学转换关系

根据麦氏关系

根据如下定义可以推出能量守恒的本构关系（这里需要注意下，体胀系数中的V 是可以转变成密度rpho的，我么认为质量守恒，体积与密度成反比）。

声学波动方程推导

我们认为媒质中的声波是微小扰动，可以假设

代入质量守恒和动量守恒方程，略去二阶小量

那么，如何利用能量守恒方程写出等式呢？这里《声学基础》上认为声波过程进行的还是比较快的，体积压缩和膨胀过程比热传导需要的时间短得多，声波过程可以认为是绝热过程，因此《声学基础》利用绝热过程的物态方程进行推导。

绝热过程的物态方程如何推导？绝热过程是不与外界交换热能，上述的热能E（热力学Q）为0

根据理想气体（这个前提很关键）

这里面有个结论，在理想气体下，内能U 只是T 的函数（可以证明），所以可以推导出

可以得到绝热过程的物态方程

为了与上述变量一致，体积转换成密度

代入微扰，此时的密度是微扰量（小量）

结合上面质量守恒和动量守恒推导的方程，可以得出声学波动方程

通过流体方程推导的线性声学方程仅限于理想媒质中的线性声学。

理想气体的假定以及绝热过程是推导线性声学方程的关键，什么时候会发生比较明显的非线性呢？应力做功是否包括压强变化做的功？

引用：
热力学方程在计算热力学函数中的应用（朱元举）
流体力学控制方程（王娴 西安交通大学航天学院）
I can’t understand the derivation of the formula Cp=Cv+nR（physics forums）
Comsol help Thermodynamic description of heat transfer...
https://www.zhihu.com/search?type=content&q=流体方程推导（id：生活在真实中）
https://blog.csdn.net/HJ199404182515/article/details/88616824

来源：腊八鸭微信公众号（ID：AverageJ1117），作者：AverageJ。

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