经典力学从矢量力学到分析力学

weixin

牛顿运动定律体系是以力、加速度、动量这些矢量为基本量来说明力学系统的运动的，所以通常称之为矢量力学。虽在原则上可以求解一切力学问题，但对多质点、多约束的情形，就会在约束力的表述和求解方程的数学手段上出现困难，实践中大量存在的复杂的力学问题要求牛顿力学向普遍化、实用化、数学化发展。

牛顿之后，从17世纪后期到19世纪，一批杰出的物理学家和数学家做了更为深入的研究，拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义坐标表述一个力学体系，用两个标量函数Lagrange、函数L和Hamilton函数H取代了力、动量等矢量函数，对系统作整体的研究，提出了变分原理这一新的基本原理，并在此基础上建立了分析力学的理论体系。分析力学经由拉格朗日、哈密顿、雅克比、泊松等开创的原始性工作以及后来众多学者的发展，现已经发展成四大理论体系：拉格朗日体系、哈密顿体系、哈密顿一雅克比体系、伯克霍夫 (Bikrhoff) 体系。

分析力学不仅仅建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法，其意义在于建立了比牛顿定律应用更广泛、数学更简洁、物理意义更深刻的力学基础，而这些是通往新物理的桥梁。

分析力学的意义之一：应用更广泛，从质点到质点系。

同矢量力学相比，分析力学的表述方法具有更大的普遍性，分析力学可以更方便地处理各类动力学系统，包括有限维和无限维的、完整的和非完整的、保守的和非保守的动力学系统，分析力学甚至可以联系有限自由度体系和连续体动力学。分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系，它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由一到无穷。它对诸多工程技术领域的应用，更体现了其分析方法的普遍性。由分析力学研究所直接生长起来的关于振动、稳定性、陀螺、刚体与刚体系统，已经成为相当宽广的领域。

分析力学在复杂力学系统中的应用体现出了它比牛顿的矢量力学更大的优越性和普适性，让最初只是对球状星体的建模和理论，可以用到更加一般的多质点、刚体、连续体等各种宏观复杂力学体系中，广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。

分析力学的意义之二：数学更简洁优美，处理多质点约束系统。

牛顿的模式对研究受约束系统的力学是不方便的。牛顿模式把影响物体运动的原因统统归结为力，而实际上大量的运动是受约束运动的，原则上说，约束对运动的作用虽然可以归结为力，但这些力就像未知的运动一样，是有待确定的。因此，如果局限在牛顿的力学模式中，寻求受约束系统的运动就产生了困难。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越，因为有了约束方程，系统的自由度就可减少，运动微分方程组的阶数随之降低，更易于求解。

拉格朗日的巴黎同事与知己、成功地把分析力学用之于天体力学和光学的拉普拉斯在《宇宙系浅说》中就写道：“当一个人在分析运算中时，他就会被这一方法的普适性和难以估量的优越性所陶醉，这种优越性体现在它能把力学推理转化为几何学往往达不到的一些结果”。爱尔兰分析学家哈密尔顿 (Hamiiton, W. R1505、1565) 在《动力学之普遍方法》中高度评价了拉格朗日方法：“拉格朗日在（分析）研究的严格演绎上，也许比任何一位分析学家做的都要多，他证明了体系的各种运动结果都可用同一个公式来推得，这真是一项伟大的工作，如此漂亮的方法与如此美妙的结果，简直是数学上的诗篇！”

分析力学的意义之三：物理更深刻，广义坐标、共轭变量。

牛顿力学着眼于力，力极其明显地呈现在运动方程式中，一般是简单质点的受力分析；而分析力学则着眼于能，多质点约束系统的整体能量分析。牛顿动力学借助于图形，运用形象化的思维方法分析物体的运动，更多地通过抽象思维对力学问题作更为一般的研究。拉格朗日用s 个独立变量来描写力学体系的运动，得到了力学体系在完全一般性广义坐标描述下，具有不变形式的动力学方程组，即拉格朗日方程，并突出了能量函数的意义。这里的一般广义坐标，进而定义广义动量、叫广义速度、广义力，使得分析力学的方法适应性非常广泛和灵活，能量函数也可系统做整体的刻画描述，大大简化了问题。

对于保守力系的拉格朗日方程，拉格朗日函数等于力学体系动能与势能之差，它是力学体系的一个特性函数，表征着约束、运动状态和相互作用等性质。拉格朗日方程非常简洁漂亮，如诗一般。拉格朗日方程是二阶常微分方程组，如果我们把L 中的广义速度等换成广义动量，就可以使方程组降阶通过变换，可以得到哈密顿正则方程。

值得一提的是，在理论物理学中，以共轭变量作为独立变量比用广义坐标、广义坐标的一阶导广义速度作独立变量要广泛和方便得多，广义动量（动量或动量矩）在物理学中比广义速度要重要得多，这些在统计物理及量子物理学常常用到。由经典物理学过渡到近代物理学，正则方程常被认为是最方便的形式。我们通常把广义坐标和广义动量叫做正则变量，并用它们代表由广义坐标和广义动量所组成的2s 维相空间中的一个相点。

这里其实蕴含了量子的秘密，广义坐标的一阶导广义速度对于不可微的路径不存在，这就是量子的本质根源，这也造成了所谓的广义动量的这种奇怪定义。可以畅想从新的分析工具，不可微分析力学的原理，直接导出量子力学。

分析力学的意义之四：通往新物理的桥梁。

拉格朗日已从抽象的符号、图形与数量空间，步入了现实的物理空间。这种方法在物理上得到了广泛的应用，物理学的许多领域从此也开始走上公理化，或者更广义地说是理性化之路。从热力学到电动力学，一直到20世纪的相对论与量子力学，可说都受到它的启迪。

分析力学对量子力学的建立，特别是哈密顿函数、哈密顿正则方程和哈密顿-雅可比方程，对于薛定谔方程和矩阵力学的建立，起到了重要的桥梁作用。哈密顿在1834年又提出将坐标和动量作为独立变量，得到哈密顿正则方程，为力学的状态描述和动力学方程找到一种优美的正则形式以及等价的“波动形式”。这种形式有着极好的数学性质，Jacobi 继续了哈密顿的研究，Hamilton-Jacobi 方法不仅开辟了解决天体力学以及物理学中一系列重要的动力学问题的途径，同时作为波动力学的先导，给量子力学的发展提供了启示。

在普朗克常数趋于0极限条件下，量子力学中的薛定愕方程可退化为分析力学中的H-J方程。同时，薛定愕方程的等价表述一海森伯方程，在此条件下与分析力学中的正则方程（即哈密顿方程）相对应。其次，利用分析力学中的变分原理（最小作用量原理），通过构造拉格朗日函数，我们不仅能导出量子力学系统中的拉格朗日运动方程，如标量场所满足K-G方程，而且还能给出电磁场理论的两种等价表述，即拉格朗日方程（即四维协变性的麦克斯韦方程）和哈密顿方程（包括电磁场的约束方程和演化方程）。最后，将分析力学中的最小作用量原理运用到广义相对论中，通过构造引力场的拉格朗日函数，导出大尺度时空中的引力场所满足的拉格朗日运动方程，即爱因斯坦引力场方程。

看见分析力学里的若干原理，如最小作用量原理，是通往新物理的桥梁，是整个物理学一以贯之的。而牛顿力学的原始表述则没有这种便利性，尽管牛顿力学与分析力学貌似物理上是等价的，但这种理论的重新表述，数学上的简洁优美往往通往更加深刻的物理。给我们的经验就是，寻找量子力学和广义相对论的重新的表述，是通往更深层次理论的方法。

来源：王雄科学网博客，作者：王雄。