论哈密尔顿动力学系统：李代数的内在缺陷

weixin

对哈密尔顿动力学系统，李代数基本上是最常用的表达方式。许多人把它看得很神秘，当然，学会的人也就不多了。

对于动力学运动有两种基本看法：

1、运动速度只与其所在位置有关（变形力学）；

2、运动的力只与其速度有关（牛顿质点力学）；

3、一般性的运动是变形力学与牛顿质点力学二者的组合，也就是说运动速度和运动的力只与位置和速度有关。

从拉格让日、哈密尔顿、到泊松扩号，这条路线是一脉相承的，是理论物理的基本路线。但是，这条路线的大多数案例是在位场中的质点运动。

对于在显含位置参数和速度参数的位场中的质点运动，虽然运动速度和运动的力只与位置和速度有关是成立的，但以上两种看法是不成立的。也就是说，在一般情况下，1和2的简单运动观是不成立的。

李代数给出了二者的组合运动的基本性质。但是，李代数的结构系数C(i,j;k)=-C(j,i;k) 是未知的，它是由动力学变量的选择决定的。如果指定它（或其中一组动力学变量），几何结构就被指定了，从而另一组动力学变量也就被确定了。

在逻辑性上，哈密尔顿量是动能与位能的直和。由于动能只是速度的函数，而位能只是位置的函数，因而，李代数出现的根本原因是来源于这个观点。也就是说，在理论的出发点上是：动能和位能不耦合。但是，运动速度和力是以李代数的几何结构耦合在一起的。

在逻辑性上，李代数给出了过于强烈的限定性。因而，等价于给出了一个附加方程。这一点在物理学中很早就被发现了，但理论物理学家多数采用对作用量的各种修改草案，而很少关注对李代数的结构系数的普遍性修订。当然，这种修订会引入新的代数结构，而这正是数学家很热爱的。因而，物理与数学在各自的路线上对同一类论题进行探讨。

我最近发现了一条几何路线，这条路线的特点是：

  · 把哈密尔顿动力学系统的李代数形式作为低阶近似（与它无矛盾）；

  · 引入位能的几何场形式（使用规范场论描述）；

  · 把变形作为运动的基本形式（理性力学）；

  · 在动量空间描述动能和位能的耦合（作为相变的几何属性）；

  · 路径积分法被隐含于一般性形式。

换句话说，用几何路线把李代数和路径积分法合二为一了。

初步的结果表明：解有两类，即稳定解、辐射解和淹没解。对基本粒子，解是量子力学的离散周期解；对宏观连续介质，解是流场。二者间并无不可跨越的障碍，在形式上是同构的。这样，就理论上说在显含位置参数和速度参数的位场中的质点运动的几何路线，在陈至达理性力学体系结构内就建立起来了。

完整的完成这项研究工作的时间可能很长，主要是用已有的（发表的）实测（实验）结果来论证理论解的精确性很费时间。

总的感觉是，正确的科学理论路线是能不断前进的路线，而有内在缺陷的地方是阻挡前进的地方，一旦克服，也就可以继续前进了。令人吃惊的是，前进的方向几乎没有变化，只不过是前进的手段有所变化而已。因而，对正确的科学理论（即便是有内在缺陷）的简单否定，注定是走向错误的方向，只能是在科学理论上退步。

来源：肖建华科学网博客 作者：肖建华教授