从单自由度系统理解模态分析

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什么是模态？模态就是所研究系统可能的振动形态，也叫振型。理论上，有n 个自由度的系统就有n 阶模态，也就是有n 个振动形态，并且每一个振动形态对应一个振动的频率，这个振动频率就是固有频率。模态分析就是求系统的振型和对应的固有频率。

单自由度系统的动力学方程是：

它表示惯性力、阻尼力、弹性力和外力的平衡。

对于视频中的弹簧振子系统，不考虑阻尼力的存在，并且是自由振动。因此对于弹簧振子的无阻尼自由振动，它的动力学方程简化为：

这是二阶线性齐次微分方程，它的解为：

从解中可以看到，弹簧振子系统的振型形态是简谐运动（视频中也可以看出)，对应的固有频率：

式中， C2 为幅值，φ 为相位，由初始位置决定。

从固有频率的表达式中可以知道，固有频率跟质量和刚度有关，质量越大，固有频率越小；刚度越大，固有频率越大。因此，如果需要调整结构的固有频率，可以从系统的质量和刚度两个方面去考虑。

下面举一个具体的例子。在弹簧振子系统中，质点的质量是10kg，刚度为100000N/m，那么它的固有频率是多少呢？

很简单，只需要将质量和刚度代入到固有频率等式中，即可求出。

了解单自由度系统的振动形态和固有频率，有助于我们理解模态分析的物理含义，也有助于我们理解两个甚至多自由度系统的振动形态和固有频率。

来源：midas机械部落微信公众号（ID：midas-jixie），作者：midas梁华。