马路上的伯努利方程

weixin

作者注：这是一个自己感兴趣但是不太懂的话题，文中包含了我的臆测，写出来与大家探讨并请批评指正！

伯努利方程是流体力学中的重要方程，由丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli, 1700-1782) 在1726年提出，他是伯努利家族中众多杰出科学家之一，丹尼尔·伯努利最伟大的贡献就是将数学应用于力学，特别是流体力学。伯努利方程的表达式如下：

其中，v 表示流体速度，g 为重力加速度，z 表示液面距离参考平面的高度，P 表示液体中压力，ρ 表示液体密度。

伯努利方程实质上描述了流体在流动中的机械能守恒（v2/2表示动能，gz 重力势能，P/ρ 压力势能），也被称为伯努利原理，是流体力学中的重要原理。伯努利原理最常用的一个推论是：等高流动时（即z 保持不变），流速大的地方压力小；流速小的地方压力大。

如下图所示，一个变截面的空管在细管和粗管处用一个连通器连通，并在其中灌水，当静止平衡时连通器内液面等高，但当在变截面管中吹气时，由于粗管和细管段气流速度不同，其压力也不同，就会在连通器内造成压差，形成如下图所示的连通器内的不等高液面。进一步分析，由于气流等量通过管子，因此细管内的气流速度会比粗管内的气流速度大，根据伯努利方程，细管内的压力就小于粗管内的压力，因此左端的液面高于右端的液面。

图1

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点击视频查看伯努利原理

顺便说一下，伯努利原理是20世纪两项最重要科技成果的理论基础，一是汽化器（发动机中也称为“化油器”），二是机翼设计。

  · 雾化器（原理同汽化器）：在通过三叉管时，低速流动的水流向高速的流动的空气。水被高速空气撕成一小滴一小滴，这些小水滴喷出来后就成了雾。

  · 机翼的升力：机翼上下表面形状的不同，致使空气流过机翼时上表面速度大于下表面，下表面压力大于上表面，这种压差把飞机托起。

如果将马路上的车流类比于管道中的水流，利用伯努利原理可以解释许多马路上的现象。为了说明这种现象，我们将两者做如下类比：

将马路上的车流视为管道中流动的液体（或气体），用伯努利方程来描述的话，水流速度就等价于马路上某路段的车流速度，某路段上单位时间内通过的车辆总数，主要和马路的设计时速与车道数相关。例如，设计时速高的道路车流速度就高，另外，车道数也是车流速度的重要影响因素，设计时速相同情况下，假设单车道的车流速度是v，那么双车道的车流速度就为2v，三车道的车流速度为3v 等等。

依据伯努利原理，等高流动时（马路上的车流近似为等高流动），流速大，压力就小；流速小，压力就大。可以得出，在车流速度慢的路段，交通压力就会增加，提高车流速度，就会在一定范围内减小交通压力。例如在十字路口，红灯导致车流平均速度降低，车流速度较慢，必然增加交通压力。因此，人们在出行时，如果有快速路（没有交叉路口）一般会选择快速路出行，这就是选择一条交通压力较小的路线。

为了缓解路口的交通压力，依据伯努利原理需要增加车流速度，需要注意的是，由于十字路口的特殊性，提高设计时速是不可能的，因此只能通过增加车道的方式提高车流速度。如下图中的十字路口，车辆行驶方向在达到路口时会增加车道数，图中行驶方向车道数与逆行行驶车道数相比为4:2，是逆向行驶车道数的两倍。这就是通过增加车道数提高车流速度，以达到减小十字路口交通压力的目的。

下面这张图中的路口中，正向行驶车道数为7，逆向行驶车道数为3，其道理同样是为了减小交通压力所采取的道路设计。

此外，对于高速路口，这一措施更加显得必要，如下图可以清晰的看到在高速出口，道路变宽，车道增加，来减小交通压力。

下面的这张图中从全景的效果看到高速出口段比其它路段要宽，也是通过增加车道数减小交通压力。

自2012年我国实行高速路节假日免费通行以来，每逢节假日高速路车流量暴增，有些高速被戏称为“停车场”，高速追尾事故时有发生，我个人的体验（没有系统调研，可能有误），很多追尾事故发生在限速路段。2018年清明假期，在回家的将近200公里的高速上有四起追尾事故，都发生在限速路段，其中一起事故就发生在动态限速指示牌不远的地方。这或许和伯努利原理有一定的关系。

当伯努利方程应用在高速路上时，由于高速的车道数固定，因此交通压力就和道路限速有直接关系，在限速低的路段就会造成较大的交通压力。对于管道中的液体或气体，如果压力过大可能造成两种可能，一是管道爆裂；二是管道内的液体或气体被压缩。这一结果对应到高速路上，交通压力过大，就增加了车辆冲出护栏（管道爆裂）和车距减小甚至追尾（液体或气体被压缩）的可能性。

当然，马路上的伯努利方程是在一定条件下的宏观表现，只反映了交通问题的一个侧面，而实际的交通问题通常是由多种因素共同决定的，例如车辆的操控性能（如车辆失灵）、驾驶员因素（如疲劳驾驶）、违章行驶（如抢道、违规变道）、道路特征（如急弯、陡坡）等等，我们渴望一个安全、快捷、有序的交通环境，就需要从不断的研究和发现交通中的科学问题，遵循交通中的客观规律，只有实现交通中的从微观因素到宏观因素、从客观规律到主观行为的协调统一，才可能真正创造快捷、安全、有序的交通环境。

参考文献：
[1]武际可.伯努利家族在力学上的贡献
http://blog.sciencenet.cn/blog-39472-51184.html
[2]wikipedia. Bernoulli's principle.
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_principle
[3]戴世强博客.科普新篇－1：马路上的力学（一）楔子
http://blog.sciencenet.cn/blog-330732-577245.html

来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟，太原科技大学。