流固耦合问题及其无量纲化过程

用完美的表情

自然界的流固耦合现象  
自然界很多现象是流体和固体的共同作用。例如心脏的泵血过程，心肌收缩使得心房压力升高，使得血流推动瓣膜开合，心肌舒张期间血液流入心房，对心房内壁的压力使得心房体积增大。这个动态的相互作用过程每一秒都在发生。除此之外自然界还有大量的流固耦合的现象。

什么是流固耦合问题

当流体绕过圆柱流动，圆柱被处理为边界条件，这是纯流体力学问题。

当圆柱受压力而变形，压力被处理为边界条件，这是纯固体力学问题。

当固体产生的大变形会影响流体流动，流体流动产生的压力动态变化又反过来影响固体变形时，也就是说当它们两者之间的相互作用无法被单独研究时，这就是流固耦合问题。

无量纲化的好处  
每个物理量的单位都是长度，质量和时间的组合：

例如重力加速度g，其量纲可表示为（1，0，-2）

无量纲化就是让物理量的量纲表示为（0，0，0）

方法就是用除法，使得分号上下都是同样的量纲，这样的出来的新的量就是一个无量纲量，例如雷诺数：

为什么要无量纲化？首先无量纲数可以对问题进行分类，分类研究可以使得复杂的问题简化，例如上图利用雷诺数把流动分为蠕变流和分离流动，其次无量纲化还可以使得研究问题的物理量变少。根据白金汉定理：一个具有N个物理量的方程，无量纲化后刚好有（不多不少）P=N-R个物理量，R是量纲矩阵的秩，最多减少3个物理量。

例如：对于圆柱绕流问题，初始物理量为阻力D，来流速度U，流体密度rho，流体粘度mu和圆柱尺寸L，总共五个，它的量纲矩阵的秩为3

因此无量纲化之后所需要研究的量为5-3=2个

流体和固体物理量分别进行无量纲化  
流体问题和固体问题分别有各自的物理量，如下图。对于纯流体问题，物理量有（图中从上到下顺序）：坐标，时间，速度场，粘度，特征尺寸，重力，密度，特征速度8个量；对于纯固体问题，有（图中从上到下顺序）坐标，时间，位移场，刚度，特征尺寸，重力，密度，特征位移8个量。我们刚学到，通过无量纲化，这些量可以减少，可分别减少到5个量。

我们开始分别对流体和固体进行独立的无量纲化的过程：

对于流体我们剔除重力加速度g，特征尺度L和粘度mu三个独立变量，并且把他们融合到其他量中，原始8参数变为5个：

注意：无量纲化的过程是任意的，只要无量纲化减少的量需要刚好为量纲矩阵的秩R，这里是3个。因此剔除选g，L，mu，也可以剔除rho，t，U，没有对错，只有如何选择更高效，更有助于解决问题。

而这里的无量纲化方式，使得（顺序为公式参数从左到右）第一个量为无量纲速度，第二个为无量纲坐标，第三个为无量纲时间，用流体流过物体的特征时间无量纲化。

第四个为雷诺数Re，表征速度大小，第五个为弗劳德数Fr，表征惯性力和重力的影响大小。

对于固体，我们剔除刚度E，特征尺度L和重力加速度g三个独立变量，并且把他们融合到其他量中，原始8参数变为5个：

而这里的无量纲化方式，使得（顺序为公式参数从左到右）第一个为无量纲位移，第二个为无量纲坐标，第三个为无量纲时间，用特征时间无量纲化，而特征时间是特征长度与弹性波速度c的比值，因此这个特征时间是弹性波穿过固体的时间。

第四个为位移数(displacement number)D，表征是否为大变形，第五个为弹力数G(elasto gravity number)，表征重力引起的变形的影响有多大。至此我们分别对流体和固体问题进行了无量纲化。

流体和固体物理量一起进行无量纲化
流固耦合问题需要统一的一组方程求解，因此我们统一考虑这16个物理量。重新观察发现，它们之间的物理量有很多重复的，16个物理量可先进行简化，再进行无量纲化。两者重复的量有，坐标，时间，特征长度，重力，这就减少了4个量，而速度场和位移场是有一定关系的，速度是位移对时间的导数，因此当我们比较关系流体时，可暂时不显式考虑固体的位移场，而用统一的速度场。这样物理量减少了5个，为11个。而我们知道通过无量纲化，还可以再减少3个（回顾：这取决于量纲矩阵的秩R，这里R=3），最后有8个物理量求解流固耦合问题。

接下来进行无量纲化，

因为我们之前已经分别对固体和流体进行了无量纲化，接下来我们先直接把之前流体的5个无量纲参数抄写下来，然后固体的5个无量纲参数只剩下最后2个量纲可以抄写，因为位移场不考虑了，坐标和时间用流体的无量纲参数了，因此我们得到了10个无量纲数。

但是，根据白金汉定理，必须刚好有11个无量纲数，因此我们先加上一个待定无量纲数，它应该是独立的量的耦合，暂时叫它A。

那么这个量应该是什么呢？
我们应该考虑固体和流体耦合的某个量的耦合，不然这和分别求解没什么区别。通过直觉去猜测，流体跟固体的密度之比应该是个重要的参数，因为人在天上飞，跟在水里游的感觉是明显不一样的。我们称它为质量数M，在机械硬盘工作时，空气对针头的影响可以用M表征，量级很小，可以忽略；而对于海豚的运动，其和水密度相当，量级为O(1)。

还可能的数有约化速度，表征两种动力学的关联

和柯西数，表征流体冲击力对固体产生的变形

对于无量纲数的选取，要根据具体的问题来选择，没有错误的选择，但有更高效，更能反应物理规律的选择。

至此我们完成了对流固耦合问题的无量纲分析，下一期我们开始结合物理方程，讨论边界条件，对问题进行实际求解的尝试。

参考：Fundamentals of Fluid-Solid Interactions, école Polytechnique.