粘滞阻尼假定之一

Roderick

如果选拔一下对建筑结构专业技术进步帮助最大的前提假定，前三名一定包含粘滞阻尼假定；如果选拔一下最容易让结构工程师犯糊涂的基本概念，粘滞阻尼也一定会位居前列。

01、阻尼相关的基本概念

1) 使自由振动的振幅逐渐减小的作用称为阻尼，阻尼体现了振动体系的能量耗散，这种能量耗散的来源通常是复杂而广泛的。

2) 实际结构中的阻尼通常以理想化的方式描述，一般采用等效粘滞阻尼形式。

3) 线性粘滞阻尼力与速度呈正比关系，如下式所示：

式中： ——粘滞阻尼力；

          ——粘滞阻尼系数，为常数；

          ——速度。

4) 实际结构的能量耗散是一种非线性行为，因此粘滞阻尼系数并不能保持为常数，通常是通过对期望变形幅值选择适当的等效粘滞阻尼系数进行间接考虑。

5) 阻尼比 ，也称作临界阻尼百分率，为阻尼系数 与临界阻尼系数 的比值，如下式所示：

式中： ——临界阻尼系数， ，为抑制振动的最小阻尼系数，即体系振动与不振动的分界线；

          ——刚度；

          ——质量。

这些阻尼相关概念我们似乎都很熟悉，进行罗列是想强调一件事：

建筑结构的粘滞阻尼是人为假定，而非科学事实。

02、从能量角度来理解粘滞阻尼假定

下式为结构动力学基本方程（结构保持弹性、采用粘滞阻尼）：

式中： ——结构质量；

          ——结构阻尼系数；

          ——结构刚度；

          ——结构位移、速度和加速度。

将结构动力学方程对位移 进行积分：

可得

其中动能 与势能 始终非负，并随时间交替增减，表征二者不断相互转换；阻尼耗能 始终为随时间不断累加的正值，表征系统能量耗散，即势能与动能的总量不断减小。

3、粘滞阻尼假定很优美

从系统能量耗散的角度来观察，粘滞阻尼假定十分优美，引入后使得采用简单方式获得复杂动力学问题的满意解成为可能。

我们一起来体会一下：

1) 引入粘滞阻尼假定，即可继续引入结构的线弹性假定

结构能量耗散的原因是复杂的，为结构（包括结构构件和非结构构件）非线性行为的体现，根本上应从材料的非线性本构出发进行解决，但到目前为止进行建筑结构的非线性分析仍然是高难度和高成本的。

引入等效粘滞阻尼假定将带来显著的益处，它将结构所有的能量耗散归结为阻尼问题，进而对结构的非线性行为进行等效，简化为线弹性动力问题。从下面的讨论可以看出，这种等效将显著简化结构动力学方程的求解难度，同时在很多情况下其计算结果也能令人满意。

2) 引入粘滞阻尼假定，可以获得部分结构动力学问题的解析解

若存在解析解，将对于理解和把握某个实际问题带来明显帮助，例如下面的线弹性单自由度体系粘滞阻尼谐振动问题：

其解析解为：

式中： ——常数，由初始位移 和初始速度 确定；

          ——常数，由 确定。

包含的前两项为瞬态解，包含的后两项为稳态解，如下图所示：

（摘自《结构动力学》Chopra）

可以看出，当具备解析解时，我们可以直观地理解结构的动力学问题。

3) 引入粘滞阻尼假定，可以显著提高结构动力学方程的数值求解效率

如下所示Rayleigh阻尼是我们常用的经典粘滞阻尼形式：

式中：

          ——结构的第 阶圆频率。

Rayleigh阻尼得到的任意振型阻尼比如下图所示：

（摘自《结构动力学》Chopra）

不知道你有没有过疑问：Rayleigh阻尼真实吗？Rayleigh阻尼准确吗？

其实Rayleigh阻尼并不真实，其中的质量比例阻尼难以从物理意义角度进行理解，刚度比例阻尼从物理意义角度理解也很牵强，因为阻尼系数的大小应与刚度退化程度对应，而非与刚度的绝对值大小相对应。

那Rayleigh阻尼为什么获得了这么广泛的应用呢？首先，对于线弹性结构，其动力微分方程的求解一般采用振型叠加方法，这种方法通过变换降低了原有结构动力学问题的计算自由度。由于Rayleigh阻尼由质量和刚度比例阻尼线性叠加构成，而固有振型对于质量矩阵M和刚度矩阵K具有正交性，因此固有振型对Rayleigh阻尼矩阵也同样具有正交性，则将时域问题变换为频域问题后，缩减后的自由度将互不耦合并可独立求解，这将显著提高数值求解的计算效率。其次，通过叠加质量比例阻尼和刚度比例阻尼，可以基本做到 之间的阻尼比均接近 。

简单一句话来说明Rayleigh阻尼为什么被奉若经典？

Rayleigh阻尼虽不真实，但非常好用。

04、总结

1) 建筑结构的粘滞阻尼是人为假定，而非科学事实；

2) 粘滞阻尼假定方便实现系统能量耗散的统一表达；

3) 引入粘滞阻尼假定，则可继续引入结构的线弹性假定，能够获得部分结构动力学问题的解析解，并显著提高结构动力学方程的数值求解效率。