随机有限元的理解

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在结构分析中，可靠性评价方法在单个构件或简单子结构中发展了许多成熟的解析算法，当研究对象扩展为整个体系结构时，解析算法的应用举步维艰，研究者不得不退而求其次，采纳基于经验化和许多假定的简化近似方法。产生以上问题的原因在于解析算法仅适用于结构显式功能函数。当结构复杂度显著增加，如自由度和随机变量数目的增多、非线性和动力效应的引入等，结构荷载和抗力相关的功能函数便具有了隐式特征，解析算法难于求解而不再适用。与此相对应的，有限元方法能够尽可能真实地再现各类结构的组成、连接、支撑、非线性状态、加载失效过程，有效地求解各类复杂结构实际行为，但是确定的有限元方法不能考虑变量的随机性，这样限制了有限元方法在可靠性分析中的应用。为了兼得两种方法的长处，产生了随机有限元(SFEM)或称概率有限元(PFEM)的思想，基于随机有限元的可靠性分析可以尽可能真实地评价简单或复杂系统的可靠性。它类似于确定性的有限元分析，但在分析中考虑了变量的不确定性。
学习随机有限元需要两方面的知识基础：
　　1. 确定性有限元算法;
　　2. 概率论及可靠度分析理论。
可以参考如下书藉：
[1] Achintya Haldar, Sankaran Mahadevan. Reliability Assessment Using Stochastic Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, inc., 2000.
[2] Haldar A., Mahadevan S. Probability, Reliability, and Statistical Methods in Engineering Design. Wiley, New York, 2000

随机有限元方法作为一种可靠度分析算法,主要目的在于回答一种事件或现象出现的可能性大小,当然这依赖于相应的确定性算法是否具有足够的分析精度,也取决于我们所掌握的信息资料.举个例子,当需要评估一座房屋在其使用期内台风破坏及可能的经济损失时,首先预测使用期内它可能遇的最大台风风速,而后在此基础上,进行该台风风速作用下的房屋风致动力响应分析,在这个过程中可以发现有许多参数并非是一个确定性的数值,比如最大台风风速为介于Vmax和Vmin之间,风速场空间相关因子分布于7至21之间,采用确定性数值输入也必然得出确定性的结果,多个分析结果也位于某一区间,呈现某种分布.更多的时候,完成所有这种确定性参数到确定性结果工作是不现实的,这样看起来很难得出肯定性的分析结论,那么如何判断房屋是否破坏呢?可靠度算法应运而生.
随机有限元仅是众多可靠度算法中的一种,擅长解决复杂结构体系隐式功能函数的验算法点求解问题,它在确定性方法基础上溶入敏感度分析技术和改进二阶矩方法,从理论上讲它可以包含所有确定性方法的特征,比如考虑非线性效应和动力响应计算,其求解结果除可以给出确定性算法结果外,亦可求解响应的均值,方差和可靠度指标.但是在实际应用中,由于计算效率和稳定性等方面的要求,需要忽略一些因素的作用,如减化动力及非线性求解步骤,对结构模型进行等效凝缩等.
在实际工程中,确定性算法难于回答许多关键问题,可靠性的分析结论或许提供给工程师更好的解决问题的办法.尽管目前,可靠度算法也面对理论分析与应用方面的种种问题,但随着人们观念的转变和技术水平的发展,有理由相信这种算法本身所孕含的潜质一定会发扬光大.

随机有限元中心思想是对功能函数采用更加精细的描述，而这种描述建立在确定性复杂结构有限元算法的基础之上的。随机有限元的基本求解式可以表达为：〆g/〆xi，式中g为功能函数，xi，为基本随机变量，每进行这样一次计算便需要进行一次结构有限元分析过程。通常，随机有限元简单、方便的作法是将确定性有限分析过程作为子函数进行调用，每扰动基本随机变量便需进行功能函数求偏导计算，结合二阶矩方法(如改进行一次二阶矩或二次二阶矩)，迭代进行验算点求解分析。
　　基于上述过程，可以总结随机有限元方法的基本计算信息：
　　1.确定性的有限元建模;2.功能函数选择;3.基本随机变量的概率描述与等效正态化方式;4.基本随机变量扰动分析，可以采用摄动法或差分法;5.验算点迭代算法;6.验算点迭代收敛判定准则。
　　上面过程为最一般的求解思路。可以发现调动确定性分析程序过程最为耗时，如果再考虑非线性、动力荷载较应，完成复杂结构的随机有限元求解很多时候几乎是不可能，这样有必要工这一环节采用半解析化的处理方式，这也是随机有限元的难点所在。

　　


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　　 Posted by: greenbow
Posted on: 2004-12-20 19:52

随机有限元好像分三类，一种是计算反应量的各阶矩，以摄动法为主，一种是依据功能函数求可靠指标，这就需求随机变量的梯度，一种是是谱分析法，我觉得楼主的文章主要是说第二种方法，不过随机有限元里面还有一个重要的方面是空间随机变量的离散化  





　　


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　　 Posted by: xxdyxxdy
Posted on: 2004-12-21 10:38

在福州大学土建学院 有一个课程链接
http://210.34.61.1/eduonline/stmech/gjjp/Doc/chenshen/12.doc
是关于基本的随机有限元的简介，各位可以参考一下。

个人觉得:
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作者 Ghanem, Roger.
书名 Stochastic finite elements : a spectral approach / Roger G. Ghanem, Pol D. Spanos.
出版 New York : Springer-Verlag, c1991.
论题性词语 Engineering mathematics. Stochastic processes.
---------------------
这本书十分经典，并提出了许多随机有限元SFEM实施的方法和个案。  





　　


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　　 Posted by: greenbow
Posted on: 2004-12-21 11:47

xxdyxxdy wrote:

个人觉得:
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作者 Ghanem, Roger.
书名 Stochastic finite elements : a spectral approach / Roger G. Ghanem, Pol D. Spanos.
出版 New York : Springer-Verlag, c1991.
论题性词语 Engineering mathematics. Stochastic processes.
---------------------
这本书十分经典，并提出了许多随机有限元SFEM实施的方法和个案。



这本书哪里可以找到?  





　　


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　　 Posted by: perch88
Posted on: 2004-12-27 09:12

看的头晕，不过回贴的大虾说是第二种，那样的话，解决方法很多
现在一些商业优化软件就可以做，而且完全自动化，前后处理都很方便
称为稳健设计优化，或稳健优化设计

在优化软件里面，你可以定义输入变量的变化范围，和变化规律，然后就能得到输出变量或者说目标变量的值，通过后处理，简直想要什么图都能得到

在我看来，第二种随机有限元只是稳健分析
而优化软件不止可以做稳健分析，更可以做稳健优化

相关信息可以参考http://www.cdaj-china.com/cgi-bi ... b.cgi?ubb=forum;f=4  





　　


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　　 Posted by: greenbow
Posted on: 2004-12-27 16:54

在标准正态空间内，可靠指标是失效面到原点的最小距离，这本身就是一个优化问题。这种情况下，可以利用确定性有限元方法，一是利用确定性有限元方法求功能函数值，另一个是就求随机变量的敏感性(梯度)，功能函数g=R-S(x1,x2,...,xn)，求可靠指标时优化法需求随机变量的梯度，即dg/dx1,而dg/dx1可以转化为dg/du和du/dx1的连乘(u为位移反应量)，而du/dx1也可以利用确定性有限元法得到，一般有限元方程为KU=F(或R=F)两边对随机变量x1求导，则可以得到kdu/dx1+d(KU)/dx1=dF/dx1，也可写成kdu/dx1=dF/dx1-dR/dx1，这样利用确定性有限元就求出随机变量的梯度了，如此功能函数的可靠指标利用优化方法就可以求得。  

adminftp

随机有限元好像分三类，一种是计算反应量的各阶矩，以摄动法为主，一种是依据功能函数求可靠指标，这就需求随机变量的梯度，一种是是谱分析法，我觉得楼主的文章主要是说第二种方法，不过随机有限元里面还有一个重要的方面是空间随机变量的离散化


　　

转自熬雪论坛：greenbow