[转帖]区域离散化

linda

区域离散化<BR>所谓区域离散化，实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。<BR>实施过程是;把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积。<BR>节点：需要求解的未知物理量的几何位置；<BR>控制容积: 应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。<BR>一般把节点看成是控制容积的代表。控制容积和子区域并不总是重合的。在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。<BR>网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。<BR>大家都知道，常用的离散化方法有：有限差分法，有限元法，有限体积法。<BR>有限差分法是数值解法中最经典的方法。它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。这种方法发展比较早，比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。用它求解边界条件复杂、尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。<BR><BR>有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。对椭圆型问题有更好的适应性。有限元法求解的速度较有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。目前的商用CFD软件中，FIDAP 采用的是有限元法。<BR><BR>有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。其中的未知数十网格节点上的因变量。子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。<BR>就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。<BR>

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有限分析法：同有限差分法一样，用一系列网格线将区域离散，所不同的是每个节点与相邻8个邻点组成。在计算单元中把控制方程中的非线形项局部线形化，并对该单元上未知函数的变化型线作出假设，把所选定型线表达式中的系数和常数项用单元边界节点上未知的变量值来表示，这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一个定解问题，可以找出分析解；然后利用这一分析解，得出该单元中点及边界上8个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中点的离散方程。<BR><BR>不过大部分商业软件是以有限容积法为基础开发的，有限容积法有诸多的优点，比如：依此建立的离散方程具有较明确的物理意义；能保持物理现象原有的基本属性；具有很好的守恒性且在小控制容积上仍能保证守恒性。<BR><BR>两种离散方法<BR>外节点法：节点在子域的四角，先定节点位置而计算相应的界面<BR><BR>内节点法：节点在子域中心，子域与控制容积重合。 计算时先定界面后算出节点位置。<BR><BR><BR>边界元法(Boudarv element method, BEM)<BR>   上面四种方法都必须对整个区域作离散化处理，用分布在整个区域上的有限个节点上函数的近似值来代替连续问题的解。在边界元方法中应用格林函数公式，并通过选择适当的权函数把空间求解域匕的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程，它把求解区中任一点的求解变量(如温度)与边界条件联系了起来。通过离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的未知值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。边界元法的最大优点是，可以使求解问题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及所需计算机容量大大减小。边界元法推广应用的一个最大限制是，需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解。虽然对不少偏微分方程这种基本解业已找出，但对Navier-Stoles方程这样的非线性偏微分方程，至今尚未找到其基本解。目前的一种处理方式是，把Navier-Stokes方程中的非线性项看作是扩散方程的源项并通过迭代的方式来求解，但一般只能获得Re较低情形的解。最近文献中采用高阶涡量一流函数方程的边界元方法，已使获得顶盖驱动流稳定解的Re高达10000.<BR>

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   格子一Boltzmann方法(Lattice-Boltzman method, LBM)<BR>   格子一Boltzmann方法是基于分子运动论的一种模拟流体流动的数值方法。在上述各种数值方法中，把本质上是离散的介质先假定是连续的，在此基础上建立起了N-S方程，然后又再把它离散化。在LMB中不再基于连续介质的假设，而是把流体看成是许多只有质量没有体积的微粒所组成，这些微粒可以向空间若干个方向任意运动。通过其质量、动量守恒的原理，建立起表征质点在给定的时刻位于空间某一个位置附近的概率密度函数。再通过统汁的方法来获得质点微粒的概率密度分布函数与宏观运动参数间的关系。<BR><BR>格子Boltzmann方法（LBM）是20世纪80年代中期出现并迅速发展起来的一种新的流体数值模拟方法。因其算法简单、计算效率高、并行性好以及能够模拟复杂边界条件等优点而受到广泛关注，并且已经在众多的领域取得了成功的运用——从简单的层流到复杂的湍流、多相流、热流动。<BR><BR><BR>与以宏观连续方程的离散化为基础的传统数值方法不同，LBM是以分子运动论和统计力学为理论基础，从微观的粒子尺度出发，构造一个简化的运动论模型，此简化模型能够反映微观或细观过程的物理本质，并使其宏观统计特性遵循所期望的宏观守恒方程，如质量、动量和能量守恒方程。在宏观流体流动中应用这些简化运动论方法的基本前提是，流体的宏观动力学特性是众多微观粒子行为的统计平均的结果，并且宏观动力特性对微观物理特性的某些内在细节是不敏感的。通过简化的运动论方程，既可以避免求解如完整Boltzmann方程等复杂的动力学方程，又可避免对每个流体颗粒的分子动力学模化。<BR><BR>格子Boltzmann方法的应用与发展近况<BR>   格子Boltzmann方法在最近10年中发展得十分迅速。1991年Frisch撰文指出，格子Boltzmann方法可以看成是Navier-Stokes方程差分法逼近的一种无限稳定的格式．至今，不仅稳态单相强制对流等温流动的领域已有许多成功的算例，而且还包括多相流，相界面及相变、多孔介质中的流动、自然对流换热等热交换现象、有自由表面的流动、流动的分歧、低Knudsen数的流动、互溶液体扩散系数的预测、非稳态流动，，以及各向同性的湍流脉动等。另一方面这10年中格子Boltzmann方法在数值计算处理的方法与技巧上也有相应的进展，这包括:不规则几何形状的处理、边界条件的处理、非均分格子及稳定性的分析等．<BR>

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格子器还真不怎么了解呢