[转帖]CFL条件的来历

frogfish

在有限差分和有限体积方法中的稳定性和收敛性分析中有一个很重要的概念——CFL条件。CFL条件是以Courant，Friedrichs和Lewy三个人的名字命名的，他们最早在1928年一篇关于偏微分方程的有限差分方法的文章中首次踢出这个概念的时候，并不是用来分析差分格式的稳定性，而是仅仅以有限差分方法作为分析工具来证明某些偏微分方程的解的存在性的。其基本思想是先构造PDE的差分方程得到一个逼近解的序列，只要知道在给定的网格系统下这个逼近序列收敛，那么久很容易证明这个收敛解就是原微分方程的解。Courant，Friedrichs和Lewy发现，要使这个逼近序列收敛，必须满足一个条件，那就是著名的CFL条件，记述如下：

CFL condition：An numerical method can be convergent only if its numerical domain of dependence contains the true domain of dependence of the PDE，at least in the limit as dt and dx go to zero.

随着计算机的迅猛发展，有限差分方法和有限体积方法越来越多的应用于流体力学的数值模拟中，CFL条件作为一个格式稳定性和收敛性的判据，也随之显得非常重要了。但值得注意的是，CFL条件仅仅是稳定性(收敛性)的必要条件，而不是充分条件，举例来说，数值流通量构造方法中的算术平均构造，它在dt足够小的情况下是可以满足CFL条件，但对于双曲问题而言这种构造方法是不稳定，不可用的。

在双曲问题的现格式方法中，一般取CFL数小于1且在1附近的值，这样沿特征线的传播不至于偏离得太远或者太近，进而可以保证数值解得准确性。在抛物型问题中对CFL条件的要求要来得更加严格，因为在下一个时间层上的任意一点上的影响域是所有时间层上所有离散点。怎样在差分格式中体现抛物型问题的这样一个特点呢？一般对于显式格式，可以取时间步长dt=O(dx~2)；更好的方法是采用隐式格式。