再论白噪音与平稳随机序列

不化顽石

今天在论坛上浏览，看到有一个讨论平稳性与白噪音是否重复的贴子，原贴如下：
http://forum.vibunion.com/forum/viewthread.php?tid=49379&highlight=%C6%BD%CE%C8
在上面这个贴子中，octopussheng兄从信号的角度阐述了他的观点，下面我想从时间序列的角度来谈谈我的看法。
有未尽之处，请大家批评指正，共同讨论。

首先从白噪音的定义出发，所谓噪音就是缺乏时迟相关的时间序列，而“任何”时迟之间都没有相关的序列叫做白噪音，它只有一个可变参数，即是方差σ2，也是白噪音序列的强度，另外一个参数为期望，也即均值，定义为零。
换句话说，只要一个时间序列x = {xt}满足如下条件，即称为白噪音：
（1）        E(xt) = 0
（2）        Cov(xt1,xt2) = E(xt1,xt2) =    0    当t1=t2
                              σ2    当t1~=t2
条件（2）可以等价地换为如下条件（3）：
（3）  ρx(τ)  =  0  当τ~=0
                   1  当τ=0
说到这里应该很清楚了，但还需要区别两个概念。说一个序列是“白噪音”，是针对其时间属性而言的，从上面也可以看出来，所有的定义都是针对“时迟”的。而如果说这个序列同时也是“正态分布”的，则是针对其空间属性而言的，也即所有的点不分先后地（即抛弃其时间属性）以正态分布形式集中在期望（这里为零）周围就可以了。这时白噪音也叫做高斯白噪音，即matlab中的那个函数：wgn。

下面我附上了图，其中第一幅，是生成的1000*1的白噪音序列{xt}；第二幅，是此白噪音序列的功率谱图，octopussheng兄也提到了，“白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声”，这幅图可做印证；第三幅，是这个白噪音序列的“空间属性”，即{xt}序列中的各个点是如何在均值周围分布的；第四幅，是自相关系数图，可以看出只有在时迟为0时自相关系数为1，而在其它时迟几乎没有相关。

再来谈谈平稳随机序列的定义。
严平稳随机过程定义为：随机过程的所有统计性质与t无关，而由于严平稳过程少之又少，现在一般讲得比较多，为弱平稳过程，即只需要强调到序列的二阶统计性质与t无关。

在这个定义下，而一个序列的统计性质，可以用其期望、方差以及协方差完全刻划，或者等价地，用其期望及自相关系数刻划。
从上面白噪音的定义明显可以看出，没有任何一个一阶或二阶统计性质与t有关，也即它是满足弱平稳过程的。
如果是高斯白噪音，甚至是满足严平稳过程的，这是因为在数学上有严格证明，只要一个过程是正态分布的，其高阶统计性质可以完全由其二阶统计性质刻划。
所以说，弱平稳过程 + 正态分布 = 严平稳过程。

最后可以得出结论，在讲“白噪音”的时候，是没有必要提及“平稳性”的。

[ 本帖最后由 不化顽石 于 2007-9-21 17:54 编辑 ]

wanyeqing2003

赞成上述说法。

无水1324

说得太好了，让我对白噪音与平稳随机序列有了深入的认识。

ncutefly

向楼主致敬

hhsy

好文章，学习了。正在找这方面的东西呢

后知后觉

很遗憾，我现在才发现这个贴子。

我有一点疑问。

就我理解的白噪声的定义并不是楼主所描述的那样
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
换句话说，只要一个时间序列x = {xt}满足如下条件，即称为白噪音：
（1）        E(xt) = 0
（2）        Cov(xt1,xt2) = E(xt1,xt2) =    0    当t1=t2
                              σ2    当t1~=t2
条件（2）可以等价地换为如下条件（3）：
（3）  ρx(τ)  =  0  当τ~=0
                   1  当τ=0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
我的理解是只要信号的谱密度是常数的随机过程，就是白噪声。
如果按楼主的定义，实际上已经假定了，这个过程就是广义的平稳过程了。

一点愚见。欢迎指正。

cloudhopping

白噪声分为白噪声过程和白噪声序列,实际中我们用的是白噪声序列,而白噪声序列是广义平稳时间序列,而白噪声过程是狭义平稳过程.
因为白噪声过程的方差为无穷大,即能量是无穷大,故不是广义平稳过程,这个过程理论上用的,实际中是不存在的,所以也叫理想白噪声,而白噪声序列
的方差则是有限的,故是二阶矩过程,又由其自相关函数和均值函数知道为广义平稳过程.
都是通过自相关函数作傅立叶变换得到其功率谱密度,而白噪声过程的自相关函数是时间连续的,所以作的是连续傅立叶变换(需要引入广义函数Dirac函数的傅立叶变换,否则行不通),而
白噪声序列的自相关函数是时间离散的,故作的时间离散傅立叶变换(不离散傅立叶变换),其变换公式是不同的.

大多数教科书认识错误,把理想白噪声当成广义平稳过程来对待,但是前后矛盾.

欢迎指正

cloudhopping

另,白噪声与正态分布没有必然联系,虽然高斯白噪声是我们常见的白噪声,但也可以是其他分布的白噪声.
频谱和功率谱是不一样的,能量型信号考虑频谱,功率型信号考虑功率谱