通过相位随机化由功率谱(幅值谱)恢复时间序列的讨论

yangzj

首先我问个问题：在什么时候只能从功率谱(幅值谱)而没有对应的相位谱恢复时间序列？

根据论坛里以前的讨论写了个小程序。

fs=1024;    %采样频率
N=1024;     %采样点数
n=0:N-1;
t=n/fs;
f=(0:N/2)*fs/N;     %频谱横轴
%信号的频率fx，频率分辨率fs/N=1;看看有小数部分和没有结果会有什么不同，即整周期采样和非整周期采样的区别。
fx=80;            
x=cos(2*pi*fx*t);               %余弦信号
Px=abs(fft(x,N)/N*2).^2;        %功率谱
Px=Px(1:N/2+1);                 %由对称性只取一半
Axr=(Px.^0.5)/2*N;                  %由功率谱恢复到幅值谱
Ph=unifrnd(-pi,pi,1,N/2);           %产生-pi到pi的均匀分布随机序列
Axr(2:end)=Axr(2:end).*exp(j*Ph);   %由随机相位得到复数谱
Axr=[Axr conj(Axr(end-1:-1:2))];    %根据实序列的对称性构造FFT结果
xr=real(ifft(Axr,'symmetric'));     %由逆变换得到恢复序列
Pxr=abs(fft(xr,N)/N*2).^2;          %恢复序列的功率谱
Pxr=Pxr(1:N/2+1);
figure();
subplot(211);plot(t,x,'b',t,xr,'r');
subplot(212);semilogy(f,Px,'b',f,Pxr,'r');

fx=80时

fx=80.5


上面两图中，功率谱可以说都是完全相同的，但是整周期采样恢复的序列和原序列基本上只有相位的区别，但是非整周期采样时却完全不同。
大家考虑下，这是为何，第二个图中类似拍的现象是什么原因引起的？我看看我想的与大家的看法有没有不同。

yangzj

大家还可以看看加窗后又有什么不同

[ 本帖最后由 yangzj 于 2007-10-22 16:12 编辑 ]

yangzj

呵呵，多谢zhlong版主的多次提升。这个问题我没有查看过相关的资料，不知道有没有人提出过。
我的看法：对于单频率信号来说，DFT求出的各条谱线的幅值和相位都是有相互关系的，例如主瓣内的相邻两条谱线的相位相差pi,由功率谱（幅值谱）和随机相位得到的复数谱，虽然保留了幅值关系，但是却破坏了原有的相位关系，这样就使原有的一个单频信号不再纯粹是单频的了，它可看成是很多个独立频率成分合成得到的。如果忽略旁瓣的泄露，可看成是主瓣内谱线对应的几个相近频率成分的叠加，由此产生了上图中拍的现象。
当加矩形窗时，整周期采样时没有泄露，主瓣内也只有一根谱线，所以能恢复出只有相移的原信号。
                     非整周期采样时，主瓣内有两根谱线，这时恢复出的信号主要是这两根谱线对应频率成分的合成。同时由于旁
                     瓣大，衰减慢，旁瓣也会有小贡献。
当加hanning窗时，不管是不是整周期采样，由于主瓣宽度增大，谱线条数增多，都存在拍的现象。而且这时旁瓣小，衰减快，旁瓣的贡献非常小，可忽略，这时恢复出的信号拍的现象很明显，也不会有毛刺。

yangzj

做一个小小的简便的改进，就是不用随机相位，改用给定的一个相邻相位都相差pi的相位向量。这对于加Hanning窗的情形效果非常好，但对于加矩形窗时效果不太好，主要是旁瓣大，而实际上瓣与瓣之间的相位还有个pi的突变。

yangzj

另外，对于多频率成分信号来说，用这种方法来恢复时域信号有个问题。
一般来说恢复时域信号即使不考虑相位，也会要求恢复的时域信号与原信号在形状上一致，也就是说恢复信号与原信号只是个时移的关系。
但是，这种方法无论如何都会丢失各个频率之间的相对相位关系，会导致信号形状上的很大改变。例如，两个不同频率成分信号相加，改变它们各自的相位，得到的时域信号在形状上会有很大的差异。

yangzj

呵呵，题为讨论，怎么成了我唱独角戏了，大家有什么问题和看法，一起讨论下。

wjh123

整周期采样变换后没有增加其它频率成分，非周期采样相当于增加了其它频率成分。反变换是按照周期信号恢复的所有频率信号，当然会有变化。

yangzj

直接从傅立叶变换的结果做反变换是不会有变化的吧，主要是功率谱失去了相位信息

xray

相关内容可以参考
信号重构理论及其应用  李衍达,常 迥编著
这本书第5章详细讨论了这个问题
其电子版可以在超星图书馆上下载

史正强

多谢yangzj的指点，看完如醍醐灌顶啊

xiaoyongsword

“Axr(2:end)=Axr(2:end).*exp(j*Ph);   %由随机相位得到复数谱”
  为何 从2开始不是很了解？

yangzj

对于实信号而言，直流分量的相位肯定为0，不能给它加相位。

zhly

信号重构理论及其应用  李衍达,常 迥编著，我在图书馆和超星上都没找到，哪位帮帮忙，有电子图书的，可否发给我？多谢了。zlying_2009@163.com

zhly

谢谢xray热心帮忙，
邮件已收到。

t9t8321

我也想要，t9t8321@sohu.com，哪位大侠发给我。。。