hilbert边界效应问题

zhlong

一、理论上t=1:500;x=sin(2*pi*0.053*t);这样的信号在HHT谱图上应该是一条直线，但是得到结果却是时频线两端有波动，这就是所谓的hilbert边界效应（HHT中的另外一个边界效应是指sifting过程中端点的拟合问题）。从http://forum.vibunion.com/forum/viewthread.php?tid=41401这个帖子中的分析发现，造成hilbert边界效应的原因就是非整周期采样。对于这样的信号我们可以通过先把信号两端进行延拓（可以用镜像法、神经网络、AR模型以及支持向量机等），然后再hilbert变换，最后舍去两端延拓部分，保留中间部分的原有数据，这样可以被动地消除hilbert边界效应的影响。对于上面的信号，得到直接hilbert变换和延拓后再hilbert变换的结果如下，可以看到这种被动的延拓方法具有一定的效果。




二、但是我发现这种方法应用到HHT中有缺陷，以下面的信号为例，我们可以发现延拓反而使得端点波动加剧，究其原因就是因为EMD分解得到的imf1和imf2两端已经出现了幅值衰减，就是说相对于理想结果它们已经变形了，以这样变形了的端点再进行镜像延拓、以这样变形了的端点再进行支持向量机或神经网络预测，只能使得数据变形越来越大。这种变形就是指调幅，调幅也会带来频率的波动，所以延拓反而使HHT谱图两端波动加剧。

t=1:500;
x=sin(2*pi*0.05*t);
y=sin(2*pi*0.02*t);
xy=x+y;
imf=emd1(xy);
emd_visu(xy,1:length(xy),imf)

三、不知道大家对于消除这种非整周期采样带来的边界效应有什么想法？

xray

在 http://forum.vibunion.com/forum/viewthread.php?tid=41401 的帖子中，zhlong 给出了整周期采样的条件，表述如下：
若信号由多正弦信号混合而成，设其中正弦信号频率可以表示为fk，则必须满足 fk = fs/N*m，其中fs是采样率，N是总采样点数，m是任意正整数。

为什么满足这个条件，Hilbert变换就不会出现边际效应呢？下面我试着简单解释一下：

前面曾经提到Matlab中hilbert函数是利用fft实现的，而fft是dfs的一种实现方式，从理论上说,dfs对应的是原始序列周期延拓的结果。简单的说，fft默认信号的两端是周期延拓的，如果周期延拓的结果与原始信号在分析窗口外的部分相同，就不会引入误差，否则就会出现边际效应。

下面来看表达式 fk = fs/N*m，简单变形后就是 N = fs/fk*m, 该等式表明频率为fk的信号在N个采样点中恰好出现了m个周期，那么频率为fk的信号从N个采样点向两端周期延拓后，恰好和原始信号相同，不会引入误差。如果信号频率不满足整周期采样条件，从N个采样点向两端周期延拓，就会在两端的边界点上出现不连续的情况，表现出来就是hilbert变换的边际效应。

从这个思路出发，目前采用的各种延拓方法，其意义在于降低两端延拓的不连续性。理想的延拓结果，应该恰好等于分析窗口外的信号。对于一般信号而言，这个要求是不可能实现的，但是对于周期信号，其基本信息完全包含在一个周期内，因此可以实现理想延拓。具体方法上，我想可以采用“平移延拓”，即选择一个周期内的信号，平移到端点处，使得原始信号恰好完全连续，这样就应该可以消除边际效应了。当然，这只是一个想法，可能具体操作上还存在一些细节问题，欢迎各位指正。

zhlong

有直接用时域方法实现Hilbert的比较好的途径吗？不用fft来实现，这样效果是否会好点呢？

破凰

在你第二个例子中，在进行EMD之前就对原信号进行支持向量机或神经网络预测，效果会不会好些。
好像所有的信号处理方法都存在边界效应问题，在时域通过卷积运算来实现Hilbert变换可能也存在边界效应，而且效果也不一定比fft好。

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原帖由 zhlong 于 2007-10-25 18:13 发表

                               
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一、理论上t=1:500;x=sin(2*pi*0.053*t);这样的信号在HHT谱图上应该是一条直线，但是得到结果却是时频线两端有波动，这就是所谓的hilbert边界效应（HHT中的另外一个边界效应是指sifting过程中端点的拟合问题）。 ...

一般文章上说的多的是sifting过程的端点问题，都能延拓来解决

二、但是我发现这种方法应用到HHT中有缺陷，以下面的信号为例，我们可以发现延拓反而使得端点波动加剧，究其原因就是因为EMD分解得到的imf1和imf2两端已经出现了幅值衰减，就是说相对于理想结果它们已经变形了，以这样变形了的端点再进行镜像延拓

是在信号分解后对IMF分量进行延拓吗？对原信号延拓好像比较妥吧，延拓的点数足够的话应该效果比以前的好；幅值衰减这样的特征应该和原信号的端部特征有关，要是为峰值等结果是否会不一样

[ 本帖最后由 zhlong 于 2007-10-28 22:29 编辑 ]

zhlong

谢谢你的意见。我这里主要是指用hilbert变换求取瞬时频率时，两端会出现波动，究其原因就是因为hilbert变换要用到fft，而信号一旦不是整周期采样时，fft的原因就会导致hilbert变换就会出现端点效应。
另外，sifting过程会导致imf两端出现波动吧，即使分解前对信号进行了延拓。

zhlong

分解前对信号作了镜像延拓的。hilbert的实现过程既然离不开傅立叶变换，那么是不是说HHT也不是完全摆脱了傅立叶的框架。记得eight在哪个帖子里说过huang将有一篇文章是关于摆脱hilbert变换求取瞬时频率的。

rc-hw-0002

原帖由 zhlong 于 2007-10-28 20:47 发表

                               
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分解前对信号作了镜像延拓的。hilbert的实现过程既然离不开傅立叶变换，那么是不是说HHT也不是完全摆脱了傅立叶的框架。记得eight在哪个帖子里说过huang将有一篇文章是关于摆脱hilbert变换求取瞬时频率的。

有过零点极点法但是精度不是很高；
还有能量算子法，

zhlong

都是求瞬时频率的方法？呵呵，孤陋寡闻了。有哪些参考文献？谢谢！:handshake

rc-hw-0002

原帖由 zhlong 于 2007-10-28 22:17 发表

                               
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都是求瞬时频率的方法？呵呵，孤陋寡闻了。有哪些参考文献？谢谢！:handshake

基于过零点_极点估计的瞬时频率幅度算法
关于能量算子解调方法的研究

破凰

HHT中的EMD才是摆脱了傅立叶变换的，Hilbert变换应该属于傅里叶分析的范畴。
EMD后用能量算子分离算法（EOSA）进行解调已经有文章了，《基于EMD的能量算子解调方法及其在机械故障诊断中的应用》。

zhlong

破凰对huang在98年文章p46页举的duffing振子的例子还有映像吗？其中说到波内调频，你如何看待这个概念？我个人觉得至少在他举的这个例子中，这个概念还是具有物理意义的。
     我想到这个帖子中提到的问题，是因为非线性数据会导致频率波动（如波内调频），而hilbert变换求取瞬时频率的过程也会导致频率波动，所以有时就难于区分HHT时频图中时频线的波动到底是信号瞬时频率真实波动还是hilbert计算过程带入的误差。这对于分析系统特性影响很大。找到一种可以避免hilbert的缺点而求出准确瞬时频率和瞬时幅值的方法是有意义的，如前面提到的两种。

form

除了从图上观察，还有没有什么参数指标来计算一下，显示出处理边界效应前后差异
能否给出具体的延拓程序:lol

zhlong

这个是不是可以用方差、标准差等来衡量？
程序就是以前一个hht工具箱中的现成的。

zhlong

好比一楼的第3幅图，因为分解过程的原因，高频的那条时频线存在波动。如果这是一个实测信号，事先不知道系统特性，谁能区分这是系统非线性表现出来的波内调频还是hilbert变换造成的误差（非整周期采样和IMF的调幅都会造成瞬时频率波动）呢？

[ 本帖最后由 zhlong 于 2007-10-29 11:41 编辑 ]