关于分离变量方法 设想

MVH

　　数学物理方法中 用分离变量法 解决弦的振动方程 设想解有形式 u=X(x)Y(y),此设想有数学依据?

FSI

想起来对偏微分方程采取时空变量分离的处理方法，得到的一些结果却类似时空混沌

yejet

<P><FONT size=2>
<TABLE height=1018 cellSpacing=1 width="90%" border=0>

<TR>
<TD width="100%" height=56>
可分离变量的微分方程与齐次方程


　=下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。
并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解，只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积分法求解，并且解法也各不相同。因此，我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。
可分离变量的微分方程
这种方程的形式为：
我们往往会以为将上式两端积分即可求解。其实是不对的。因为两端积分后，得，右端是什么也求不出的，所以求不出y来。
其正确解法为：设y=y(x)为所求的解，于是当y=y(x)时，有
，即
这一步把y的函数及dy与x的函数及dx分开了，称为分离变量，这是求解的关键的一步，下一步我们就可由不定积分换元法进行求解了。
例题：求方程的通解。
解答：这是一个可分离变量的方程，分离变量后得

两端分别积分，得

令，得
这就是该方程的通解。
齐次微分方程
这种微分方程的形式为：
它也不能由两端积分求解。其求解步骤为：
令，则，y的微分方程就化成了u的微分方程
即：
这就化成了可分离变量的微分方程，再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。
例题：求方程的特解。
解答：这是一个齐次方程。令y=ux代入，得

分离变量后，得

两端分别积分，得
或 其中
代回u=y/x，得原方程的通解为
将初始条件y(0)=1代入，得 C=1.
所以满足初始条件的特解为

yejet

参变量又称参变数或参数，通常指相对于未知数来讲可以在一定范围内取值的常数。参变量的取值范围一直是高中数学教学的难点和重点，也是高考的重点考查内容之一。
一般来讲，参变量的取值范围问题的解决常用的有分类讨论、数形结合、利用函数性法，分离变量等。本文就分离变量法来阐述如何解决方程根的分布问题和不等式恒成立问题。
一、 用分离变量法解决方程根的分布问题
先看一例题：
例1：设对数方程lg(ax)=2lg(x-1) ，讨论a在什么范围内取值时该方程有解
[分析与解] 原方程可变换成下列不等式组
ax>0
x-1>0
ax=(x-1)2
若用方程的思想处理太繁，且有难度。分类讨论时很容易遗漏。若用分离变量法，把a与x分离在等式的两侧，用函数的观点来考察，可避免纷繁讨论，问题就很容易解决了。
分离变量得：

令y1=x+1/x-2 (x>1)
y2=a
要使原方程有解，只要上述两个函数的图象有交点即可，有几个交点就有几解
画出简图，由图象可知

当a∈(0,+∞)时，方程有一解
当a∈(-∞，0)时，方程无解

例2，设a为参数，试讨论lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数
[分析与解]原方程变换成下列不等式
x-1>0
3-x>0
a-x>0
(x-1)(3-x)=a-x
分离变量a得 a= -x2+5x+3
y1= -x2+5x+3 x∈(1,3)
y2=a
画出简图：

由图象可知：
当a≤或a>13/4时，原方程无解
当1<a≤3或a=13/4时，原方程有一解
当 3<a<13/4时，原方程有二解

例3，如果方程lg(x-a)/lgx-lg3=2至少有一个实数解，求实数a=取值范围
[分析与解] 原方程可换成下列不等式组
x-a>0
x>0
x≠3
x-a=(x/3)2


分离变量a得 a= -x2/a+x
令y1= -x2/a+x (x>0且x≠3)
y2=a
画出简图：


由图象可知
当 a≤0 或a≥2或a=9/4时,原方程有一解
当0<a<2或2<a<9/4时，原方程有二解
当a>9/4时，原方程无解
∴当a≤9/4时，原方程至少有一个实数解

二、 用分离变量法解决不等式恒成立问题
如果a>f(x)对于x∈D恒成立，又f(x)在D上的最大值为b(b为常数)则只要a>b(或a≥b)就可以了。同理如果a<f(x)对于x∈D恒成立，而f(x)在D上的最小值为c(c为常数)则只要a<c(或a≤c)就可以了。
例1， 已知f(x)=x2+2x+a/x，若对于x≥1,f(x)>0恒成立
求实数a的取值范围

[分析与解] ∵x≥1时，f(x)>0恒成立
∴x2+2x+a/x>0恒成立
分离变量a得
a>-x2-2x
∵-x2-2x在x≥1上的最大值为-3
∴a>-3
∴a的取值范围是(-3, +∞)

例2，若对于任何x∈[0，1]，不等式1-ax≤1/ 恒成立
求a的取值范围
[分析与解]
∵x∈[0，1]，不等式1-ax≤1/ 恒成立
分离变量a得：
a≥
问题转化为求 在[0，1]上的最大值
令 =t 解：x=t2-1
∵x∈[0，1] ∴t∈[1， ]
∴y=
∵(t+1)t在t∈[1， ]上的最小值为2
故 y=1/(t+1)t的最大值为1/2
∴a≥1/2
∴a 的取值范围是[1/2, +∞]

例3，若lg(2ax)/lg(a+x)<1恒存在解x∈(1,2)，求参数a的取值范围
[分析与解]
由题改x>1, a>0 所以原不等式可化为
lg(2ax)<lg(a+x)，从而有2ax<(a+x)
分离变量a得： a<x/(2x-1)
令 g(x)=x/(2x-1)
∵g(x)在(1,2)上是单调逐减函数
∴g(x)的最小值=g(2)=2/3
∴a<2/3
∴a的取值范围为(3,2/3)

综上所述，运用分离变量法来解决参变量取值范围问题，可须问题的运算简化，一目了然。它的本质是把参变量看成是未知数的函数，利用函数的线性或图象解决问题，请读者仔细体会它的妙用，但注意不要滥用。

上海市竖河职校综合高中部 薛 培

yejet

<FONT size=2>　　考虑两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：
　　　　
其为已知函数.
　　在求常微分方程的解时，往往是先求出方程的通解，再用定解条件去确定任意常数.在求解偏微分方程时，此办法能否再适用呢?一般情况下泛定方程的通解是求不出来的, 因此，只有采取直接探求泛定方程满足定解条件的的特解。本节先讲分离变量法.
　　我们知道，波的函数为　　即两个自变量可以分开.我们设想方的解也具有这种形式，即：设
　　　　　　　　　　　　　
　　即自变量x只出现在X 中，自变量t只出现在T中.那么：
　　　　，，
代入方程得：
　　　　　　　　　　
将(4)代入边界条件(2)得:
　　　　　　　　　　　　
(6)式的定义很清楚，无论在什么时刻t,和总是零. 对于非零解，只有
　　　　　　　　　　　　
请注意，如果边界条件不是齐次，就不能作出任何类似的简单结论.
从方程(5)中可得出:
　　　　　　　　　　　　
该等式左端只是t的函数，等式右端只是x的函数. 而x,t是两个相互独立的变量，所以只有两边都是常数时，等式才能成立，把这一常数记作，则有：
　　　　　　　　　　　　
所以有：　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
这样就分离为关于t的常微分方程和关于x的常微分方程，后者还附带条件(7)，先看关于x的方程(9)和条件(7)即：　　　　　　　　　　　
　　下面分,和三种可能情况进行讨论.
　　(i).,方程的解为：
　　　　　　　　　　　　　　
代入边界条件得：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
这样解为：. 从而，没有意义.
　　(ii).，的解为：
　　　　　　　　　　　　　　
代入边界条件得：
　　　　　　　　　　　　　　
从而，没有意义.
　　(iii).,的通解为：
　　　　　　　　　　　　　　
代入边界条件得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　
即　　　　　　　　　　　　　
为使，那么，即：(n 为正整数)，所以
　　　　　　　　　　　　　　
这样，分离变数过程中所引入的常数不能为负数或零，甚至也不能是任意的正数，它必须取所决定的特定值，才可能从方程和边界条件解出有意义的解：
　　　　　　　　　　　　　
其中，为任意常数.
除此以外，只能得到恒等于零的解.常数的特定数值叫做特征值(本征值)相应的解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
叫作特征函数(本征函数)。
　　再看关于t的方程：.即：
　　　　　　　　　　　　　　
其解为：
　　　　　　　　　　　　
其中为任意常数.于是我们得到泛定方程(1)满足边界条件(2)的可分离变量的一系列特解：
　　　　　　
由于泛定方程(1)与条件(2)都是线性而且齐次的，一般解应为各个线性独立解的线性叠加，即：
　　　　　　
下面我们确定任意常数，由于方程的解应满足初始条件
　　　　　　　　
　　　　　　　　　
上式中左边为付里叶正弦级数，这就提示我们把右边的和展开为付里叶级数，然后比较两边的系数可确定的值，即：
　　　　　　　
至此，定解问题(1)(2)(3)已经解出.
　　回顾整个求解过程，可以作出图解如下：
　　　　　　　
以上的求解方法称为分离变量法，其基本思想是把分离变量形式的试探解代入偏微分方程，从而把它分解为几个常微分方程，问题就转化为求解常微分方程。上述分离变量形式的解正是付里叶正弦级数，我们把这种形式的解，称为付氏解。

心灯

yejet怎么把带有公式图片的文章给转过来的?


　　

直接从别的地方复制/粘贴，好像不能粘贴过来，仅仅是个连接吧。

yejet

以下是引用心灯在2005-7-11 18:52:00的发言：


　　

yejet怎么把带有公式图片的文章给转过来的?


　　

直接从别的地方复制/粘贴，好像不能粘贴过来，仅仅是个连接吧。




现在暂时还只能是图片连接，复制粘贴还都只是图片的连接


　　

呵呵，希望站长早日能够时间直接复制粘贴图片


　　

要不经常新出现图片看不了的问题

MVH

以下是引用MVH在2005-7-10 16:07:14的发言：
数学物理方法中 用分离变量法 解决弦的振动方程 设想解有形式 u=X(x)Y(y),此设想有数学依据?

　　

问题还没有解决，大家跑题了吧