关于 solve 和 fsolve 的简单比较

friendchj

以matlab R2008a版本为例，各版本出错提示可能有所不同。有不对之处，欢迎指正。
1.solve 和 fsolve的基本含义
matlab给出的关于solve 和 fsolve的基本描述为：
solve——Symbolic solution of algebraic equations
fsolve——Solve system of nonlinear equations
可见solve用于解决代数方程(组)的符号(解析)解，而fsolve用来解决非线性方程(组)的数值解。
【在matlab里面solve命令主要是用来求解代数方程（即多项式）的解,但是也不是说其它方程一个也不能解，不过求解非代数方程的能力相当有限，通常只能给出很特殊的实数解。从计算机的编程实现角度讲，如今的任何算法都无法准确的给出任意非代数方程的所有解，但是我们有很多成熟的算法来实现求解在某点附近的解。matlab也不例外，它也只能给出任意非代数方程在某点附近的解，函数有两个：fzero和fsolve,具体用法请用help或doc命令查询吧。如果还是不行，你还可以将问题转化为非线性最优化问题，求解非线性最优化问题的最优解，可以用的命令有：fminbnd, fminsearch, fmincon等等。】（引自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c4af5c101008w9f.html，作者：ggbondg）
下面举几个例子：

1. 例1：>> solve('a*x-1')
   
2. ans =
   
3. 1/a
   
4. 例2：>> solve('exp(x)+sin(x)-2')
   
5. ans =
   
6. .44867191635127271149118657202662

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注：对于solve结果的显示，有时看起来比较长，可用vpa进行精度控制，如：
>> vpa(solve('exp(x)+sin(x)-2'),3)
ans =
.449

1. 例3：>> fsolve(@(x)exp(x)+sin(x)-2,0)
   
2. Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.
   
3. ans =
   
4.     0.4487

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2.关于solve 和 fsolve求解方程组时的书写规则
对于solve，方程可以直接书写，不需要运算符”.”；
对于fsolve，当未知量与未知量有乘除操作或未知量有开方、幂等操作时运算符”.”可写也可不写(记得好像必须写，试了试，发现不写也行)。下面举几个例子：

1. 例4：>> solve('x+y.^2-1','x.^2-y-3')
   
2. ??? Error using ==> solve at 77
   
3. ' x+y.^2-1 ' is not a valid expression or equation.
   
4. 例5：>> solve('x+y^2-1','x^2-y-3')
   
5. ans =
   
6.     x: [4x1 sym]
   
7.     y: [4x1 sym]
   

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1. 例6：function shiyan
   
2. clc
   
3. clear
   
4. x0=[0,0];
   
5. fsolve(@mf,x0)
   
6. 
   
7. function F=mf(x)
   
8. F=[x(1)+x(2)^2-1;
   
9.    x(1)^2-x(2)-3];
   
10. %%%%%Result%%%%%%
    
11. Optimizer appears to be converging to a minimum that is not a root:
    
12. Sum of squares of the function values is > sqrt(options.TolFun).
    
13. Try again with a new starting point.
    
14. ans =
    
15.     1.6268   -0.1537
    

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例7：把例6中的mf函数，换成如下再试试。
function F=mf(x)

F=[x(1)+x(2).^2-1;
x(1).^2-x(2)-3];

例8：把例6的初值x0设为x0=[-2,2]; 运行结果为：

Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.
ans =
-2.1875
1.7854
可见，用fsolve解非线性方程组，比较依赖处置的选择，因此建议用fsolve解方程时，能大致了解问题的求解区间，以便选择合适的初值。
3. 关于solve 和 fsolve求解时，参数为多数值的求解
问题来源：http://forum.vibunion.com/thread-82658-1-1.html
类似问题描述：k=(5.0e+4):(1e+3):(6e+4);h=1.6e-6;n1=2.2899;n0=1.5040;n2=1.000;解方程组：
p1=sqrt(k.^2.*n1.^2-b.^2；p2=sqrt(b.^2-k.^2.*n2.^2)；p0=sqrt(b.^2-k.^2.*n0.^2)；
p1*h-pi-atan(p0./p1)-atan(p2./p1)=0。(见：http://forum.vibunion.com/thread-83102-1-1.html)
解决方法：这是非线性方程组，不过我们可以先用solve试试：

1. 例9：问题如前所述。考虑用solve是否能解。
   
2. clear
   
3. clc
   
4. k=(5.0e+4):(1e+3):(6e+4);
   
5. h=1.6e-6;
   
6. n1=2.2899;
   
7. n0=1.5040;
   
8. n2=1.000;
   
9. for i=1:length(k)
   
10. y=solve(['p1=sqrt(',num2str(k(i)),'^2*',num2str(n1),'^2-b^2)'],...
    
11.     ['p2=sqrt(b^2-',num2str(k(i)),'^2*',num2str(n2)','^2)'],...
    
12.     ['p0=sqrt(b^2-',num2str(k(i)),'^2.*',num2str(n0),'^2)'],...
    
13.     ['p1*',num2str(h),'-',num2str(pi),'-atan(p0/p1)-atan(p2/p1)=0']);
    
14. end
    

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%%%%%Result%%%%%
> In solve at 140

In shiyan at 9
y=solve(['p1=sqrt(',num2str(k(i)),'^2*',num2str(n1),'^2-b^2)'],...

['p2=sqrt(b^2-',num2str(k(i)),'^2*',num2str(n2)','^2)'],...

['p0=sqrt(b^2-',num2str(k(i)),'^2.*',num2str(n0),'^2)'],...

['p1*',num2str(h),'-',num2str(pi),'-atan(p0/p1)-atan(p2/p1)=0']);
Warning: Warning, solutions may have been lost
Warning: Explicit solution could not be found.
>> whos y

Name  Size  Bytes  Class  Attributes
y     0x0    64     sym
由此说明利用solve并不能解决这个复杂的非线性方程组，考虑数值解法。

1. 例10：问题如例9，考虑fsolve求解问题。
   
2. % 主程序
   
3. clear
   
4. clc
   
5. global k h n1 n2 n0
   
6. k1=(5.0e+4):(1e+3):(6e+4);
   
7. h=1.6e-6;
   
8. n1=2.2899;
   
9. n0=1.5040;
   
10. n2=1.000;
    
11. x0=[0 1 0 0];
    
12. b=zeros(1,length(k1));
    
13. for i=1:length(k1)
    
14.     k=k1(i);
    
15.     y=fsolve(@myfun,x0);
    
16.     b(i)=y(4);
    
17. end
    
18. plot(k1,b);
    
19. % 子程序
    
20. function F=myfun(x)
    
21. global k h n1 n2 n0
    
22. % p0 p1 p2 b----x(1) x(2) x(3) x(4)
    
23. F=[sqrt(k^2*n1^2-x(4)^2)-x(2);
    
24.    sqrt(x(4)^2-k^2*n2^2)-x(3);
    
25.    sqrt(x(4)^2-k^2*n0^2)-x(1);
    
26.    x(2)*h-pi-atan(x(1)./x(2))-atan(x(3)./x(2))];
    
27. %%%%% Result%%%%%%%%%
    
28. y=fsolve(@myfun,x0);
    
29. Optimizer appears to be converging to a minimum that is not a root:
    
30. Sum of squares of the function values is > sqrt(options.TolFun).
    
31. Try again with a new starting point.
    

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这说明所选初值并不合理。

1. 例11 例10还可以这样改写：
   
2. % 主程序
   
3. clear
   
4. clc
   
5. % global k h n1 n2 n0
   
6. k1=(5.0e+4):(1e+3):(6e+4);
   
7. h=1.6e-6;
   
8. n1=2.2899;
   
9. n0=1.5040;
   
10. n2=1.000;
    
11. x0=[0 1 0 0];
    
12. b=zeros(1,length(k1));
    
13. for i=1:length(k1)
    
14.     k=k1(i);
    
15.     y=fsolve(@(x)myfun(x,k, h, n1, n2, n0),x0);
    
16.     b(i)=y(4);
    
17. end
    
18. plot(k1,b);
    
19. % 子程序
    
20. function F=myfun(x,k, h, n1, n2, n0)
    
21. % global k h n1 n2 n0
    
22. % p0 p1 p2 b----x(1) x(2) x(3) x(4)
    
23. F=[sqrt(k^2*n1^2-x(4)^2)-x(2);
    
24.    sqrt(x(4)^2-k^2*n2^2)-x(3);
    
25.    sqrt(x(4)^2-k^2*n0^2)-x(1);
    
26.    x(2)*h-pi-atan(x(1)./x(2))-atan(x(3)./x(2))];
    

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例12 参见http://forum.vibunion.com/thread-82658-1-1.html此贴，看看大侠ChaChing，dingd（1stOpt解法）等的解法。
注：利用fsolve解数值解，初值的选择十分重要。而1stOpt则对初值的选择要求比较低，不妨一试。关于这一点，请参考如下文章：
作者：dingd 非线性方程组-1stOpt与fsolve的比较：
http://forum.vibunion.com/thread-48384-1-5.html

cammer534

fsolve函数 求解非线性最小二乘解 是不是最好的方法？？求解答

friendchj

这个不一定。fsolve求解需要指定初始值。解的好坏应该和函数采用的算法有很大关系。

fn001cn

讲的非常好，谢谢。

meiyongyuandeze

什么软件都不是万能的，有时候也不能太相信！

蓝天白云bmw

感谢楼主分享。