我对“负频率有无物理意义”的看法（续1）
所谓“负频率”的说法来自“负的圆频率”。定义复平面内旋转矢量的ω的方向，逆时针为正，顺时针为负。这还得从傅立叶(Fourier)变换说起。Fourier变换是《信号分析》最重要的理论基础之一。
Fourier变换对的双方都是一个复函数（二维函数）。迄今人们利用Fourier变换做频率分析时，几乎都只对一维信号（实函数）进行分析，实函数只不过是复函数的特例。做过DFT或FFT计算的人，可能知道，它们的程序有X和Y两组输入。分析一维信号时，只给X数组赋值，而Y数组全部取值为零。一维信号的Fourier变换结果是一个对称的双边频谱，作为分析结果仅注意单边谱即可，实际上这与Fourier三角级数展开的结果相当。因此，也可以说，仅对一维信号而言，“负频率”没有什么实际的物理意义。
习惯于和一维信号打交道的人们，往往把自己的思维局限在一维空间里，那就不好了！许多用惯了FFT的学者甚至忘记了FFT还有另一个输入Y。国内就有一位搞“故障诊断”研究的工程院士，在分析转子振动时，就把X和Y两组测试数据，分别两次做FFT计算，得到两个单边频谱，再把它们合起来另外起个颇为响亮名字叫什么“××谱”。岂不知，Fourier先生早就给二维信号准备了一个双边频谱啦！
通常的二维信号的双边谱是非对称的，-ω的那一半绝对不能忽略。双边谱的每一个频率成分不是谐波，而是一个旋转矢量。因此，可以说：负频率既有几何意义又有物理意义。
什么是“二维信号”？例如：北京天文馆里有一个“傅科摆”，它的振动信号就是二维的；光波在垂直于传播方向的振动也是二维的，因此会产生“偏振光”、“椭圆偏振光”、“圆偏振光”等概念……
深刻地理解了Fourier变换之后，我们发现它是何等地优美和精彩！那么，对于“三维信号”或更多维的信号，有没有更直接的分析方法和工具呢？ 利用负频率的概念可以更好理解转子动力学中的正进动、反进动等概念。
现在还有全谱分析、矢谱分析，其实都是利用了互为垂直的两个方向的振动信号，构成二维信号进行分析。
理解负频率对于全面理解傅立叶变换非常有帮助。
回复zhlong的#9帖——Fourier变换是平均计算的结果
【此帖放在FFT专题区可能更合适】1、Fourier变换是一种积分变换，它是建立在Fourier级数理论的基础之上的。在具体计算一个样本数据时，首先假设该样本数据是一个循环的周期，所得到的Fourier系数是在该周期时间段内平均计算的结果。比如，你拿半个周期的正弦曲线输入FFT，得到的Fourier系数有很多，绝不是原来那个单一的正弦函数。
纯数学的Fourier变换是广义积分，从-∞积到+∞。但是实际的数值计算时，DFT和FFT都只能取一段有限的时间样本做Fourier级数的运算。它们的积分算式都可视为“加权平均”的计算式。若想要追求结果精确，则尽可能增加数据样本的长度和提高采样频率，当然计算量也随之增大。
根据上述理由，不要苛求于Fourier变换，它只是对一段数据平均计算的结果，其主要的分析误差是因对信号的截取不当所致。而由于数据离散所带来的缺陷就更不能怪罪于它了。
2、为了说明“瞬时频率”的概念，最显而易见地，就是举调频波（FM）为例。如果你制作一段一个整周期的周期性的调频波数据，例如Sin(Cos(2*t)*t)，Fourier变换完全可得到相应精度的结果，它的分析结果也会有非常丰富的频率成分。【这个例子是一个幅值为1的正弦波信号，它的角频率按余弦函数在+1和-1之间变化，当角频率为负时，仅表示波形倒相而已，即相位差了180度。】
在此顺便指出，在做有关Fourier变换的数字仿真实验时，一定要特别注意输入的时间序列是不是截取了一个整周期。如果是，就能获得准确而干净的频谱；否则，得到的频谱就非常繁杂甚至面目全非。【这就是经典教科书所说的“频谱泄漏”，然而教科书把“信号的截取”换成了“乘以矩形谱窗”，绕了一个玩弄数学的大弯子，令许多学子如坠五里雾之中了！】
3、定义频率为“单位时间的循环次数”，与理解“瞬时频率”是不矛盾的。这好比中学生先学习“匀速运动”，建立“速度”的概念，再学习“匀加速运动”，即使未学微分也能理解“瞬时速度”。总之，无论“平均速度”，还是“瞬时速度”，都从属于“速度”的基本概念，不会因速度是“单位时间的运动距离”而“难以理解”吧？
陈校长在本论坛上是本科生头衔啊……
我对“负频率有无物理意义”的看法（续2）
这一场关于“负频率”的讨论似乎快该结束了。我想对我的发言来一个小结。1、对一维信号来说，“负频率”没有什么物理意义；对二维信号来说，负的圆频率既有几何意义又有物理意义。
2、Fourier变换对的双方都是二维函数(其几何描述参见下图），因此为了全面理解Fourier变换，必须把思维扩展到二维空间。
C:\Documents and Settings\Huarong\My Documents\f.jpg
C:\Documents and Settings\Huarong\My Documents\My Pictures\Fourier变换的几何描述.jpg
扩展思维的空间有多么重要？打个比方来说吧。我们人类生活中在三维空间里。曾有传说，某人在某地方突然消失得踪迹全无，很快又在数千公里之外的某地出现。还有“特异功能者”能够从密封的药瓶里取出药片（而不必开启瓶盖或打破药瓶）。如果这是真的，那人和药片一定是利用了四维空间的通道。因此，对于三维空间的凡人来说，视野及行动都能扩展至四维空间的，简直就是神仙了！同理，假设有一条生活在一维空间的小虫，它只能在一维的实数数轴上爬来爬去，它那可怜的视力根本看不到左右两侧；另一个二维空间的虫子却能在广阔的二维复平面上自由活动。相对于一维的可怜虫，二维的小虫就是神仙。
3、作为非数学专业的理工科学者，在掌握相关的数学工具时，应努力冲破纯粹的抽象思维的禁锢，探寻并理解有关数学公式的几何意义。直观的几何意义是通往物理意义的桥梁，它还会激发创造性的思维火花。 OK,如果你认为所谓的“负频率”或“二维定义”有什么“特异功能”的话， 那么根据你这些理论如何利用两条FFT谱线校正出更准确的结果。 进一步，如何利用三条谱线提高抗噪能力。
如果这两个问题不能按照这种“玄学”概念来解决，那么就是“玄而又玄”。 很可笑，作为一个正常人，引用“取药片”这种例子。
回复21楼的博士生
您生气了吗？从您的名头上看，您可是一位搞振动学的行家呀！
敝人的上一帖，只不过为了说明问题，打一个稍许幽默的比方而已，
绝无讽刺谁谁是“一维可怜虫”的意思。
如果不慎冒犯了您，在此道一声：“对不起！” 瞬时频率应该是先有了解析信号之后才有定义及才能求出来的。九楼给出的并不是正确定义的瞬时频率。
负频率没有物理意义也是指解析信号的瞬时频率出现负值无物理意义。这与傅立叶变换中有负频率的分量完全是两回事。
[ 本帖最后由 zhangnan3509 于 2007-12-4 08:50 编辑 ]
回复 #23 papertiger 的帖子
用hilbert求出9楼给出的信号的解析信号之后，再求得的瞬时频率和这个式子的if1=0.02+0.01*sin(2*pi*0.04*t)/(2*pi); %信号x的瞬时频率结果一致，不知道9楼信号正确定义的瞬时频率应该是怎样的？谢谢指正！
zhlong君，还在追究“瞬时频率”的概念吗？
一般的正弦信号的数学表达式如下：ASin(ωt-φ)
其中，A为幅值、ω为角频率、φ为相位角。对于标准的正弦信号，这三个要素皆为恒定值。
一、如果上述三要素之一是瞬变的（即为时间的函数），而另外两个要素仍为常值。
1、假设 A=x(t) ，则为调幅信号：x(t)Sin(ωt-φ) 。如果你觉得有必要，此时定义x(t)为“瞬时幅值”，也未尝不可。
2、假设 ω=y(t) ，则为调频信号：ASin(y(t)t-φ) 。定义y(t)为“瞬时频率”也未尝不可。
3、假设 φ=z(t) ，则为调相信号：ASin(ωt-z(t)) 。定义z(t)为“瞬时相角”也未尝不可。
二、如果正弦函数的三个要素都是瞬变的，原来的正弦信号就变成：
x(t)Sin(y(t)t-z(t))
这是一个波形有点儿复杂的信号，如果x(t)、y(t)和z(t)皆为周期函数，它也是一个复杂的周期信号吧。然而，此时能不能同时维持以上对“瞬时幅值”、“瞬时频率”和“瞬时相角”的定义呢？我以为，恐怕——不能吧！
我们观察一个一维信号的时域波形图，从波形陡峭的程度，大致可以判断它随时间变化的快慢。对于正弦信号，增大A或ω、减小φ（减小滞后量），都会使波形更陡，即信号变化加速；反之，则信号变化减缓。
zhlong在#9帖中例举的信号： x=sin(2*pi*0.02*t-y)
其中A=1
ω=0.04*Pi；f=ω/(2*Pi)=0.02
φ=1/(2*pi)*cos(2*pi*0.04*t)
显然，这是一个调相信号。根据上文（一、3、）的叙述，也可以说它的频率为常数0.02 。
再观察zhlong在#9帖中绘制的x的波形，其形状与正弦波比较，呈左凹右凸的弯曲。此时，若硬要定义所谓的“瞬时频率”，必定要将它与某些参数归一化的标准谐波进行比较。
比如， 定义标准谐波为h=Sin(Ωt)，它的幅值和相角已归一化，仅角频率Ω在某一范围内扫描变化。
将x与Ω数值扫描变化的h进行比较，在二者同时上升（或同时下降）的数值相等（即x=h）的某一对应的点，如果二者的斜率（即导数，或曰波形的变化率）也相等时，可以定义Ω为信号x在该点的“瞬时角频率”。
这种定义的出发点是波形变化率相等。我没有具体地计算过，不知道是否与 if1=0.02+0.01*sin(2*pi*0.04*t)/(2*pi) 的结果相同？但总可以看出if1的数值在0.02的左右振荡。
总而言之，怎样定义“瞬时频率”，恐怕不是我们讨论问题的最终目的。在理工科领域里，凡提出一个新的概念，必须紧密联系它的实际应用。毕竟我不知道，zhlong君究竟为了什么提出“瞬时频率”的问题，也就不清楚，这一段说明能否对你有益？
回复 25楼 的帖子
非常感谢张教授详细的解释，感觉你说的波形变化率和绕原点以瞬变角速度旋转的杆具有类似的物理意义。另外我对瞬时频率的考虑是出于下面这样一个简单的非线性方程：
按照非线性方程近似解析解的求解方法，可以得到x含有频率分（2*pi/25),3*(2*pi/25),6*(2*pi/25)等等...
下面是利用另外一种称作HHT的方法对该非线性方程进行数值分析：
对x进行HHT分析，得到下面的时频图：
其中底下的那个频率对应驱动力的频率，它不随时间而变化。上面的那个高频对应系统因为初始位移和速度造成的固有频率响应，可以看到响应频率随时间而变化，正对应了上面所说的可以将该非线性方程看做是“刚度随位移而变化”的系统，从而“固有频率也随位移而变化”，所以可以说上面的时频图能够很好的解释这个非线性方程的物理意义。
对x做FFT频谱和短时傅立叶变换时频谱，得到结果如下：
问题：
上述HHT方法的时频图和FFT频谱、短时傅立叶变换的时频谱相比较，能否说明瞬时频率是具有物理意义的？（HHT时频图是通过瞬时频率的概念得到的）
或是在这个例子中瞬时频率具有比傅立叶频率（周期的倒数）更明确的物理意义？
刚过来
有关二维函数的FFT，该论点在80年代就由当时“陕西机械学院”的张华容教授提出了。当然，相关的物理意义及实际应用也都有文献说明。只不过是到目前为止，读懂并愿意接受该观点的人不多。 学习新概念。 呵呵，高手过招，学习了。可惜没有继续讨论下去。 强啊！
学习中:victory: